随机四面体包住球心：八分之一

圆上三点

在圆上随机取三个点，每一处的机会都相同，连成一个三角形。圆心有时在三角形里，有时在外面。模型一次次重新取点，计数器记下包住圆心的比例。

先固定 P₁ 和 P₂。从它们各画一条穿过圆心的直线，圆被分成四段弧。只有当 P₃ 落在 P₁、P₂ 对面的那段弧上，三角形才包住圆心。

P₁ 和 P₂ 的夹角 θ 在 0 到 180° 之间均匀分布，对面那段弧占整圆的 θ/360°，在 0 到二分之一之间均匀分布，平均是四分之一。所以概率是 1/4。

先选直线

取点还有另一种办法，结果完全一样：先随机取一条穿过圆心的直线，再抛一枚硬币，从直线的两个端点里选一个。这样得到的点，落在圆上每一处的机会仍然相同。

先取两条直线，再取 P₃，最后才抛两枚硬币。直线和 P₃ 定下以后，硬币只有四种结果，机会相等。其中恰好一种让 P₁、P₂ 都落在 P₃ 的对面，三角形包住圆心。

不管两条直线和 P₃ 落在哪里，都是四种里有一种。所以概率是 1/4。

球面上四点

升到三维：在球面上随机取四个点，连成一个四面体。1992 年第 53 届普特南数学竞赛的 A6 题问的就是球心落在四面体里的概率。计数器停在 1/8 附近。

沿用第一种办法：固定 P₁、P₂、P₃，P₄ 必须落在 −P₁、−P₂、−P₃ 围成的球面三角形里。这个三角形时大时小，平均正好占球面的八分之一，可是直接求这个平均要算一个很难的积分。

八种选法

换成直线：先取三条穿过球心的直线，再取 P₄，最后抛三枚硬币，决定每条直线用哪一端。三枚硬币有八种结果，机会相等。

把 −P₄ 写成三条直线方向的组合，−P₄ = a₁u₁ + a₂u₂ + a₃u₃。每条直线都取 aᵢ 符号那一侧的端点时，球心在四面体里；只要有一条取反，球心就在外面。八种里恰好一种，所以概率是 1/8。

换一个问题

两种办法问的是不同的问题。第一种问目标有多大，在三维里卡在一个积分上。第二种把取点的过程拆开重排，先选直线，再抛硬币，问题就变成了数数：四种里一种，八种里一种。

穿过圆心的直线，原本只是为了看清哪段弧算数。把这些辅助线当作随机过程的第一步，难算的平均就不再需要了。模型在这里只做这件事：取三条直线和 P₄，八种选法里点亮唯一的那一种。

同样的数法适用于任意维数和任意点数。1962 年，J. G. Wendel 证明：在 d 维空间的单位球面上取 n 个随机点（圆是 d = 2），它们都落在某个半球里的概率是 2⁻⁽ⁿ⁻¹⁾·Σ C(n−1, k)，k 从 0 到 d−1。凸包包住中心的概率是 1 减去它：圆上四点是 1/2，球面上五点是 5/16。