碰撞数出 π
光滑的轨道上有两块方块，左端是一面墙。大块滑向小块，小块在大块和墙之间来回弹。质量比是 100 时，一共撞 31 次；10,000 时 314 次；1,000,000 时 3141 次。
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两块方块
轨道没有摩擦，碰撞是完全弹性的，不损失能量。左边的黄铜小块静止，右边的钢块匀速滑过来。两块之间的碰撞和小块撞墙，都算一次。
两块一样重时，一共撞 3 次。大块把速度全部交给小块，自己停下；小块撞墙弹回；小块再把速度交还大块。之后大块向右离开，小块停住，再也碰不到。
π 的数字
大块重 100 倍，碰撞 31 次。重 10,000 倍，314 次。重 1,000,000 倍，3141 次。质量比每乘 100，次数就多出一位，依次是 π = 3.14159… 的数字。
一百万倍时，3141 次碰撞里有九成挤在不到 20 毫秒之内，就在大块离墙最近的时候。模型在这一段自动放慢，右上角标出放慢的倍数，计数一次不漏。模型的每一刻都是精确解，不是逐步近似。
两条守恒
两块相撞时，动量 m·v₁ + M·v₂ 不变，动能 ½m·v₁² + ½M·v₂² 也不变。两个方程，两个未知数，碰撞后的两个速度就定了。
小块撞墙时，速度大小不变，方向反过来。能量不变，动量变了，差额由墙和地面吸收。箭头是两块此刻的速度。
一个圆
把两个速度画成平面上的一个点：横坐标 X = √M·v₂，纵坐标 Y = √m·v₁。这样缩放以后，能量守恒就是 X² + Y² 不变，点只能落在一个圆上。
动量守恒是 √M·X + √m·Y 不变，一条斜率为 −√(M/m) 的直线。两块相撞，点沿这条线跳到圆上另一处；小块撞墙，Y 变号，点竖直跳到对面。下图随模型逐次画出每一跳，直到点落进右侧的窄扇形：小块向右，且不比大块快，再也追不上。
等弧
撞墙的一跳是竖直的；两块相撞的一跳，与竖直方向成固定的角 θ，tan θ = √(m/M)。相邻两跳在圆上交于一点，夹角是 θ。按圆周角定理，它们另外两端之间的弧是 2θ。
所以碰撞点沿圆周以相同的弧 2θ 排开。从起点出发，到末端的窄扇形为止，排得下 ⌈π/θ⌉ − 1 个点，这就是碰撞次数。
为什么是 π
质量比是 100ⁿ 时，√(m/M) = 10⁻ⁿ。角很小时 arctan x 几乎等于 x，所以 θ 只比 10⁻ⁿ 小一点。π/θ 比 π·10ⁿ 稍大，次数就是 π·10ⁿ 的整数部分：3、31、314、3141。π 来自那个圆：每步 2θ，走半圈要 π/θ 步。
“稍大”的部分约为 10⁻ⁿ，通常不影响结果。只有当 π 在第 n 位之后紧跟着大约 n 个 9，它才会让次数多出 1。没有人证明过这种情况不会出现。
同一种几何
把圆里的折线摊平，就是一束光在两面镜子之间反射。两面镜子夹角为 θ，光沿其中一面射入，反射次数也是 ⌈π/θ⌉ − 1。
两次反射合成一次转动。量子计算里的格罗弗搜索也是这样，每一步把状态转过同一个小角度。2019 年的一篇论文证明，这两块方块和格罗弗算法在数学上完全对应：从 N 个条目里找出一个，大约要 (π/4)·√N 步，和碰撞次数一样随平方根增长。
实验台
五种质量比，一条轨道。时间可以放慢，碰撞声可以打开。
试一试大块重一亿倍时，计数停在多少？
模型省略了什么
计算按理想情形：没有摩擦，碰撞完全弹性，方块是刚体，碰撞瞬间完成，墙不会动。真实的方块会损失一点能量，撞不满这么多次。模型从起点到结束是精确解：每次碰撞的时刻直接解出来，碰撞之间方块匀速运动，不做时间步进。大块的尺寸不按比例：同样的密度，重一百万倍的方块要宽 100 倍，这里只用大小表示“更重”。声音是合成的，太密的碰撞声会合并。
一个常见的误解
π 出现在这里，不是因为方块或轨道里有什么是圆的，也不是巧合。它来自相空间里那个能量圆：碰撞次数数的是步长 2θ 在半圈里能走几步。次数给出 π 的十进制数字，是因为质量比取了 100 的幂；换成别的比值，次数仍是 ⌈π/θ⌉ − 1，只是不再像 π 的数字。
资料来源
- Gregory Galperin（2003）：Playing pool with π (the number π from a billiard point of view)，Regular and Chaotic Dynamics 8(4): 375
- Adam R. Brown（2020）：Playing Pool with |ψ⟩: from Bouncing Billiards to Quantum Search，Quantum 4: 357，arXiv:1912.02207
- Lov K. Grover（1997）：Quantum Mechanics Helps in Searching for a Needle in a Haystack，Physical Review Letters 79: 325–328
- Gary Antonick（2014）：The Pi Machine，The New York Times，Wordplay
数据
The puzzle and its solution are due to Gregory Galperin: “Playing pool with π (the number π from a billiard point of view)”, Regular and Chaotic Dynamics 8(4), 2003. Grant Sanderson (3Blue1Brown) brought it to a wide audience in 2019 and returned to it in 2025; his videos are under Watch next.
沿这个问题继续
图版 22一根钢丝证明地球在转一个又长又重的摆，在地板上方来回摆动。几个小时后，它摆动的方向好像转了一个角度。其实转的是地板，是地球。
图版 M01规则里游出的生命把康威“生命游戏”的格子、节拍与生死都化开，一个小东西便从数里游了出来：有身子，有尾巴，被咬一口还会长好。它的全部天理，只是一个圆环、一条钟形的曲线。
