转动的圆，画出闭合的线

一支箭头

在复平面上，eⁱᵗ 是一支长度为 1 的箭头。t 每增加 2π，它绕原点转一整圈，箭尖画出一个圆。

乘上一个复数 c，箭头的长度变成 |c|，起始方向转到 c 的辐角。e²ⁱᵗ 转得快一倍，e⁻ⁱᵗ 反着转。机器上的每一节摆臂都是这样一支箭头：一个长度，一个起始角，一个整数转速。

两支箭头

第二支箭头装在第一支的箭尖上。第一支以 1 倍速正转；第二支不到它的三分之一长，以 2 倍速反转。笔跟着第二支的箭尖，画出一个圆角三角形。

笔的位置是两支箭头的和：c₁eⁱᵗ + c₋₂e⁻²ⁱᵗ。三角形有三个角，因为两支的转速相差 3：第二支相对第一支每转回原处一次，线就向外鼓出一个角。

许多支箭头

这里有 128 节摆臂，按长度从大到小串起来，转速从 ±1、±2 一直到 ±64，每个整数各一节。笔画出的是一个高音谱号。

谱号是一笔写成的，有起点也有终点。闭合的线必须回到起点，所以笔先画过去，再沿原路画回来。大体上，长臂转得慢，定下轮廓；短臂转得快，修出细小的弯。

箭头从哪里来

要找转速为 n 的那一支，就让整条线反着转：笔走到 t 时，把那一点绕原点转回 nt 的角度，也就是乘上 e⁻ⁱⁿᵗ。转速为 n 的那一项于是停下来，其余各项仍在转，转速变成 m − n。

匀速绕圈的点，平均位置在圆心。所以把转回后的点取平均，转着的项都平均成 0，只剩停下的那一项。cₙ 就是转回后这条线的质心：cₙ = (1/2π)∫ z(t)e⁻ⁱⁿᵗ dt。

实际计算时，线先按长度等距取 1024 个点，积分换成求和再除以 1024，这就是离散傅里叶变换。用上全部 1024 项，箭尖会逐一经过每个取样点，一点不差。

越多越像

只用前 9 项，谱号只剩一团歪斜的圈，最远的点偏出谱号高度的一成以上；129 项时不到 1.5%。偏差的平方平均，正好等于没用上的那些项的长度平方和，这是帕塞瓦尔定理。

正方形的角是尖的，有限项画出的角总是圆的，边上还带着细小的波纹。项数加倍，最大偏差减半。正方形只用得上转速为 1、−3、5、−7……的项，因为它转过四分之一圈就和自己重合。

线如果断开，比如笔从一处跳到另一处，就不一样了：跳跃两侧会冲过头，冲出的距离约为跳跃的 9%。加再多项，过冲只变窄，不变矮。这叫吉布斯现象，下图是一个方波。

从热开始

傅里叶最初研究的不是画，而是热。1807 年 12 月，他在巴黎的法兰西研究院宣读论文《论固体中的热传播》，提出物体里的温度分布可以写成正弦和余弦的叠加。1822 年，他出版了《热的解析理论》。

在一个圆环上，热传导方程让每一项各自衰减：转速为 n 的项按 e^(−n²kt) 缩小。转得越快的项消失得越快，温度分布就越来越平滑。

把星形的横坐标看作圆环上各处的温度，纵坐标也一样，让两者各自扩散：每节摆臂按自己的转速缩短。尖角先消失，星形变成圆角五边形，再变成圆。机器隔一段时间画下一圈。