转动的圆，画出闭合的线

一串首尾相接的箭头，各以整数倍的速度转动，最后一支的箭尖能画出任何一条闭合的线。

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01学习目标

一节课的开头或结尾，老师投影、讲解。

一整节课，留出学生动手和讨论的时间。

0–5 分钟
复习复数乘法：乘上 c，长度乘以 |c|，方向再转过 c 的辐角；所以 c·eⁱᵗ 长 |c|，起始方向是 c 的辐角。再投影「一支箭头」。
第 01 章一支箭头
5–10 分钟
「两支箭头」：先猜后看。笔的位置是两支箭头的和；讨论三个角从哪里来。
第 02 章两支箭头
10–15 分钟
「许多支箭头」：谱号一笔写成，闭合的线要回到起点，所以笔画过去，再沿原路画回来。
第 03 章许多支箭头
15–23 分钟
「箭头从哪里来」：用动画讲“反着转、取平均”。请学生说出，为什么转着的项平均下来都是 0。
第 04 章箭头从哪里来
23–30 分钟
「越多越像」：帕塞瓦尔定理和吉布斯现象。问：正方形的尖角，和方波断开的地方，加项后有什么不同？
第 05 章越多越像
30–34 分钟
「从热开始」：傅里叶最初研究的是热。转得越快的项消失得越快，星形先没了尖角，再变成圆。
第 06 章从热开始
34–40 分钟
动手：照下面的步骤，用正方形检验“项数加倍，最大偏差减半”。
第 07 章实验台

第一支箭头以 1 倍速正转，第二支以 2 倍速反转。笔为什么画出三个角？
好的回答两支的转速相差 3。第二支相对第一支每转回原处一次，线就向外鼓出一个角，所以一圈有三个角。
怎样求出转速为 n 的那一项？
好的回答把整条线反着转，也就是每一点乘上 e⁻ⁱⁿᵗ。转速为 n 的那一项停了下来，其余各项还在转。匀速绕圈的点平均在圆心，所以取平均以后只剩停下的那一项：cₙ 就是转回后这条线的质心。
多加几项，原来的那些箭头会变吗？
好的回答不会。cₙ 只取决于这条线本身，多用几项只是多接上几支箭头。用多项式拟合就不一样，加一项，原来的系数全都要变。
正方形的尖角和方波的跳跃，加项以后有什么不同？
好的回答正方形的线没有断开，加项后偏差趋于 0，角只是越来越尖，项数加倍，最大偏差减半。方波在跳跃处断开，两侧总会冲过头，约为跳跃的 9%，加再多项也只是变窄，不会变矮。
热传导里，星形为什么先失去尖角，最后变成圆？
好的回答转速为 n 的项按 e^(−n²kt) 缩小，转得越快消失得越快。尖角靠的是那些转得快的项，所以先没了；最后剩下转速最慢的一项，画出一个圆。

留意正方形的最大偏差大约随项数加倍而减半，角永远是圆的，只是越来越小。项数调小时，先消失的是细小的弯：它们靠的是转得快的短臂。

误解每个尖角上都有吉布斯现象。
图版里看到的一条没有断开的线，即使有尖角，加项后偏差也会趋于 0，角只是被磨圆；只有线断开的地方，才有约 9% 不随项数减小的过冲。
误解多加一项，前面的系数都要重新算。
图版里看到的cₙ 只取决于这条线本身，多用几项只是多接上几支箭头。用多项式拟合时才会全部改变。

这幅图版可以配合下面这些章节。按新版教材列出：初中 2024–⁠25 年起的版本，高中 2019 年版；旧版的章节号不同。

拓展

留意图版写 eⁱᵗ，教材只写 r(cos θ + i sin θ)，不讲欧拉公式：先交代一句 eⁱᵗ = cos t + i sin t，就是长度 1、辐角 t 的复数。「复数的三角表示」在两版教材里都是带星号的选学内容。

和图版相同。这一页的事实都出自图版和这些来源。

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