斜切圆锥，切口是椭圆

四种切口

平面水平切过圆锥，切口是圆。平面倾斜，圆被拉长成椭圆。倾斜到和圆锥的一条母线平行，曲线不再闭合，成了抛物线。再陡一些，是双曲线。

模型里的玻璃圆锥立在尖上，半顶角 20°。玻璃切面的倾角从 0° 转到 84°，四种曲线依次出现。它们合称圆锥曲线。

完整的双曲线有两支，另一支在圆锥向上延伸出的另一半上。模型只有一半圆锥，所以只切出一支。

两枚图钉，一根线

另一种画法：钉下两枚图钉，把一根不会伸长的线两端系在钉上，用笔尖把线绷紧，绕一圈。笔尖到两枚图钉的距离之和始终等于线长。

这样画出的曲线是椭圆，两枚图钉所在的点叫焦点。到两个焦点的距离之和处处相等，这就是椭圆的定义。两钉靠拢，椭圆变圆；两钉重合，就是圆。

同一条曲线？

切圆锥得到的曲线和用线画的曲线看起来很像，但看起来像不等于相同。要证明切口是椭圆，得在切面上找到两个点，让曲线上每一点到它们的距离之和都一样。

圆锥上没有图钉，也没有线。这两个点在哪里，从切口本身看不出来。1822 年，数学家 Germinal Pierre Dandelin 给出了一个几乎不用计算的证明。

两个球

在圆锥的尖里放一个球，它贴住圆锥的内壁，同时从下面碰到切面。在切面上方再放一个更大的球，它也贴住内壁，从上面碰到切面。

球贴住圆锥的地方是一整圈，叫切点圆。球碰到切面的地方只有一个点。这两个点 F₁ 和 F₂，就是椭圆的两个焦点。

模型里，小球留在尖里，玻璃切面靠在它上面倾斜。倾角变了，大球的大小也跟着变，始终刚好同时碰到内壁和切面。

等长的切线

从球外一点向球画切线，所有切线都一样长，切点连成一个圆。

在曲线上取一点 P。线段 PF₁ 躺在切面上，而切面只在 F₁ 碰到小球，所以 PF₁ 是小球的一条切线。经过 P 的母线贴着小球擦过，在切点圆上的 Q₁ 碰到它，所以 PQ₁ 也是切线。于是 PF₁ = PQ₁。同样，PF₂ = PQ₂。

所以 PF₁ + PF₂ = PQ₁ + PQ₂ = Q₁Q₂。Q₁Q₂ 是母线夹在两个切点圆之间的一段，每条母线上这一段都一样长。P 走到哪里，和都不变，切口就是以 F₁、F₂ 为焦点的椭圆。

只剩一个球

切面倾斜到和母线平行时，上方的球要无限大才能同时碰到内壁和切面，它不存在了。只剩尖里的小球和它的焦点 F。

小球的切点圆所在的水平面，和切面相交于一条直线，叫准线。曲线上每一点 P 到 F 的距离，等于 P 到准线的距离。这正是抛物线的定义。

理由还是等长切线：PF = PQ。PQ 沿母线从 P 降到切点圆的平面，PD 沿切面从 P 降到同一个平面。此时切面和母线的倾角相同，两段一样长。

椭圆和双曲线也有准线，PF 与 PD 之比都等于离心率 e = sin φ / cos α。φ 是切面相对水平面的倾角，α 是圆锥的半顶角，从轴量起。e 小于 1 是椭圆，等于 1 是抛物线，大于 1 是双曲线。