转半圈，是 e 的 iπ 次方

乘以 i：转四分之一圈

复数 a + bi 是平面上的一个点，横坐标 a，纵坐标 b。按乘法规则，i·(a + bi) = −b + ai。比如 2 + i 乘以 i，得到 −1 + 2i。

新的点到原点的距离不变，方向逆时针转了 90°。任何复数乘以 i 都是这样。乘两次转半圈，所以 i·i = −1；乘四次回到原处。

仪器上的铜臂可以伸缩。它指着 z，每乘一次 i，就绕中心转 90°，长度不变。

增长的速度等于自己

从 1 开始，让一个量的增长速度始终等于它当时的大小：等于 2 时速度是 2，等于 3 时速度是 3。经过一个单位时间，它长到 e ≈ 2.718。这就是 eˣ：变化率等于自身的函数。

复利是同一件事的分步版本。本金 1，年利率 100%，一年结一次息得 2；分两次，每次 50%，得 2.25；按月结得 2.613；按天结得 2.7146。结息次数 n 越多，(1 + 1/n)ⁿ 越接近 e。

铜尺的每一节是一步：长度是当时大小的 1/n，方向和位置一致。所以每一节都比上一节长一点。

速度与位置垂直

eˣ 的规律是速度等于位置。把 x 换成 it，按求导的规则，eⁱᵗ 的速度是位置的 i 倍。

乘以 i 是转 90°，所以速度总和半径垂直。起点是 1，长度为 1，速度的长度也是 1。点一直横着走，既不离开中心，也不靠近：它沿单位圆走，速率为 1。

速率为 1，走过时间 t，弧长就是 t。单位圆一周长 2π，半圈是 π。t = π/2 时点在 i；t = π 时到了圆的另一侧，e^(iπ) = −1；t = 2π 时回到 1。

一百个小步

eⁱᵗ 也可以像复利一样分步算。t = π 时就是 (1 + iπ/n)ⁿ：从 1 出发，每一步加上当前位置的 iπ/n 倍。

加上 z 的 iπ/n 倍，就是朝着和半径垂直的方向，走半径长度的 π/n。每一步转过同一个小角度，同时略微伸长一点。铜尺的每一节就是这样一步。

n = 1 是一大步，从 1 直接到 1 + πi。n = 4 时，四节已经绕过半圈。n = 100 时，折线几乎贴着单位圆，终点离 −1 只差 0.0506。差距约为 π²/(2n)：n 加倍，差距减半。

终点总在 −1 外侧一点。每一步伸长 √(1 + π²/n²) 倍，n 步累积约 1 + π²/(2n)；转过的角度和 π 只差约 π³/(3n²)，小得多。

转动是一种运动

eⁱᵗ 的横坐标是 cos t，纵坐标是 sin t，所以 eⁱᵗ = cos t + i sin t。实轴和虚轴上的两个铜滑块，各自跟着箭头尖的投影来回滑动。

改一下速度，运动也跟着变：e²ⁱᵗ 转得快一倍，e⁻ⁱᵗ 反着转，r·eⁱᵗ 走半径为 r 的圆。

许多支这样的箭头首尾相接，各以整数倍的速度转动，最后一支的箭尖能画出任意一条闭合的线。这就是傅里叶级数。