确定，却无法预测

三个变量，三条方程，没有一处随机。给同一个起点，它每次都走出同一条路；把起点挪动百万分之一，路线先是贴在一起，然后越分越开，最后毫不相干。这就是混沌。

直接动手

章节 · 8

01三个数描述的对流
02漏水的水车
03少了三位小数
04差百万分之一
05不重复，也不相交
06加热的强弱
07两周
08实验台

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01

三个数描述的对流

一层流体，下面加热，上面冷却。热的往上走，冷的往下沉，流体卷成一圈圈翻滚的对流卷。1963 年发表的三条方程，是这种对流的一个极简模型。

x 是对流的强弱，正负表示卷的转向；y 是上升流和下沉流之间的温差；z 是竖直方向的温度分布偏离直线的程度。σ = 10 是流体的普朗特数，ρ 是加热强度与刚好开始对流时的比值，β = 8/3 来自对流卷的形状。

雕塑上的黄铜丝，就是 (x, y, z) 在 ρ = 28 时走过的路。左右两翼对应卷的两种转向。红线是正在走的一段。

02

漏水的水车

一个倾斜的轮子，边上装一圈杯子，杯底有小孔。水从最高处注入，杯子一边接水一边漏。

顶上的杯子灌满就往下转。转得快，杯子来不及接满就离开；转得慢，一侧积水太多，被转到上面去，轮子就减速、停住、反过来转。换向的时刻没有规律。

把轮子的角速度和杯中水量分布的两个分量换成 x、y、z，水车的三条方程就是 Lorenz 方程，只是 β = 1。进水越多，ρ 越大。这台水车按自己的方程实时运转，ρ = 28。

03

少了三位小数

1960 年代初，Lorenz 在一台 LGP-30 计算机上运行一个十二个变量的天气模型。为了重看一段结果，他把早先打印出的一行数字输回去，从中途重新开始。

大约一小时后，机器算完了约两个月的天气。新结果和旧的起初一样，然后差别大约每四天翻一倍，到第二个月已毫不相干。原因是机器内部保留约六位小数，打印时只取三位：他输入的是舍入后的数。

后来的转述常用 0.506127 和 0.506 作例子。下图用这里的三个变量重做一遍：同一个状态，写成六位和三位小数，各算一次。

04

差百万分之一

把起点沿 x 挪动 10⁻⁶，再算一次。两条线起初重合，距离平均每个时间单位放大约 e^0.9 ≈ 2.5 倍，每 2.5 个时间单位放大十倍。

在对数刻度上，这种增长是一条直线，斜率就是最大的 Lyapunov 指数，约 0.906。平均到 t ≈ 18，距离已有吸引子那么大，此后两条线各走各的。

所以测得再准也没用多少：初始误差小十倍，只多换来约 2.5 个时间单位。

05

不重复，也不相交

轨迹不会停在一点，也不会回到走过的状态开始循环：它不重复。每一点的速度由方程唯一确定，所以三维空间里两段轨迹不会相交，否则交点处就有两个去向。

它也跑不远。所有轨迹都被吸到同一个有界的形状上，这就是吸引子。两翼的中心是两个不动点 C± = (±√(β(ρ−1)), ±√(β(ρ−1)), ρ−1)，这里是 (±8.49, ±8.49, 27)。轨迹绕着一个打转，不定期跳到另一个。

这个形状的分形维数约 2.06：比曲面多一点，是无数层贴在一起的薄片。

06

加热的强弱

ρ 小于 1，加热不足，流体静止，所有轨迹回到原点。ρ 在 1 和约 13.93 之间，对流稳定，轨迹直接落进 C+ 或 C−。

ρ 在约 13.93 和 24.06 之间，轨迹先乱绕一阵，最后仍落进 C±，这是暂时的混沌；越接近 24.06，乱绕得越久。24.06 到 24.74 之间，混沌吸引子与稳定的 C± 并存，落到哪一个取决于起点。超过 24.74，C± 失稳，只剩混沌。

雕塑上依次演示 ρ = 0.6、10、20、28。黄铜丝始终是 ρ = 28 的形状。

07

两周

1972 年 12 月 29 日，Lorenz 在美国科学促进会第 139 届年会上作报告，题为「Predictability: Does the Flap of a Butterfly’s Wings in Brazil Set Off a Tornado in Texas?」。「蝴蝶效应」的说法由此流传。

大气远比三个变量复杂，但同样敏感。研究估计，即使模型和初值都接近完美，中纬度天气的可预报上限也约为两周：如今有用的预报约 10 天，把初始误差再减小十倍，最多延长约 5 天。

所以天气预报从一组略有差别的初值出发，算出一束结果；它们散开得多快，预报就能信多久。

08

实验台

ρ 从 0 到 35，同时改变雕塑上的两条线和水车的进水量（水车对应 β = 1）。「挪动 10⁻⁶」从红线当前的位置再放出一条蓝线。读数是两线的距离、水车的角速度和换向次数。

试一试把 ρ 调到 20：两条线一开始乱绕，最后停在哪里？

模型省略了什么

黄铜丝是从 (1, 1, 1) 出发、去掉前 6 个时间单位后的 24 个时间单位，按实际坐标弯成，1 个单位约 1.6 厘米；投影里它看起来会交叉，三维里不会。两条线用四阶 Runge–Kutta 计算，步长 0.005，每秒走 0.8 个时间单位。水车按自己的三条方程实时计算，泄漏率 K = 0.3/s；杯中水量只取质量分布的前两个谐波。真实的水车杯子有限、水流一股一股，方程是它的近似。水车对应 β = 1 的 Lorenz 系统，不是雕塑的 β = 8/3，所以它在 ρ 约 17.5 以上就开始混沌。

容易误解的地方

混沌不是随机：方程里没有掷骰子，同样的起点永远给出同样的结果，前十几个时间单位也完全可以预测；难以预测的是长期。「蝴蝶效应」也不是说小事一定引起大事，而是说初值里的微小差别长期看会让结果完全不同，却无从知道是哪一个差别。另外，这三条方程是对流方程极度简化的版本，真实流体在这样的加热下并不这样运动；它的意义在于说明，很简单的确定方程就能产生永不重复的运动。

资料来源

数据

Edward N. Lorenz published the three equations in 1963, in “Deterministic Nonperiodic Flow” (Journal of the Atmospheric Sciences 20: 130–141), as a simplification of a convection model by Barry Saltzman (1962). The rounded restart follows Lorenz’s own account in The Essence of Chaos (1993) and his 1991 Kyoto Prize lecture. The numbers 0.506127 and 0.506 come from James Gleick’s retelling in Chaos (1987), not from Lorenz. The title of the 1972 talk was supplied by the session’s convener, Philip Merilees; Lorenz had used a sea gull before. The chaotic waterwheel was devised at MIT in the 1970s by Willem Malkus and Louis Howard; its equations and their map to the Lorenz system (β = 1) follow Steven Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos, §9.1. The two-week limit is from Zhang, Sun, Magnusson, Buizza, Lin, Chen and Emanuel (2019). The waterwheel and the brass sculpture are our own models.