随机碰撞，堆出钟形曲线

钉板

钢珠从顶上的漏斗落下，穿过十二排黄铜钉。每碰到一颗钉，它就向左或向右跳到下一排，最后落进底下的一格。

一颗珠子落在哪一格，事先说不准。上千颗落完，格子里的珠子堆成中间高、两边低的一条曲线，每次都差不多是同一条。玻璃上的金线刻的就是它：十二排钉、一千颗珠子时的钟形曲线。

钉子一排比一排多一颗，错开半格排列，像骰子上的五点，所以这种排法叫 quincunx。

一颗珠子的路

碰到一颗钉，珠子向左还是向右，机会各一半。穿过十二排钉，等于连抛十二次硬币。

它最后落在第几格，只看一共向右跳了几次：一次也不向右，落进最左边的第 0 格；十二次都向右，落进最右边的第 12 格。先右后左和先左后右，到达同一个地方。

慢镜头里的红线，是这颗珠子走过的路。

数一数路

通向第 k 格的路，就是十二次里挑出 k 次向右，一共 C(12, k) 条。每一条路的机会都是 1/2¹² = 1/4096。所以落进第 k 格的概率是 C(12, k)/4096。

正中间的第 6 格有 924 条路，约占 22.6%；最边上的两格各只有一条路，1/4096。中间高，只是因为通向中间的路最多。

这叫二项分布。n 排钉时平均落在第 n/2 格，方差是 n/4：十二排时方差是 3，标准差约 1.73 格。玻璃上的红线，是按板上现有的珠子数画出的精确分布；珠子越多，各格的高度越贴近它。

变成钟形

钉的排数 n 越多，二项分布越接近一条光滑的曲线，也就是正态曲线：中心在 n/2，宽度按 √n/2 增长。

这个近似在 1733 年发表，后来被推广到向右的概率不是一半的情形：

C(n, k)/2ⁿ ≈ √(2/(πn)) · e^(−2(k − n/2)²/n)

模型依次换成 1、2、4、8、14 排钉。排数越多，曲线越矮、越宽，也越平滑。

换成骰子

硬币只是最简单的推动。把每一层的推动换成掷骰子，按点数减去 3½ 挪动几格；或者在 −3 到 3 格之间，任意挪一段距离。

只推一次，格子里就是推动本身的形状：骰子是六格一样高，均匀推动是一片平台。推两次，叠成三角形；推三次，已经接近钟形。

这就是中心极限定理：许多独立的推动加在一起，只要每一个的方差有限、没有哪一个占压倒性的份量，总和就接近正态分布，与单个推动的形状无关。下图把总和缩放到同样的宽度，再与正态曲线比；推动越多，差距越小。

哪里会出现

测量误差来自许多微小而独立的扰动：温度、振动、读数时的偏差。它们叠加起来，误差常接近正态分布。1809 年，正态分布就被用作天文观测误差的规律。

同一人群、同一性别的成年人身高也接近正态，因为身高受许多基因和环境因素共同影响，每一个的作用都不大。

但不是什么都服从正态。收入、城市人口、地震释放的能量、股市的日涨跌都有“厚尾”：极端值远比正态曲线预言的多。原因可能是有的因素影响特别大，因素之间并不独立，或者它们是相乘而不是相加。有的分布连平均值都没有，比如柯西分布：取再多的数求平均，也不会稳定下来。

真实的钉板

真实的钉板只是接近这个理想。钉子不会精确地一半对一半：钉的位置差零点几毫米，或者板子稍有倾斜，每颗钉就都偏向同一边。钢珠还会一下弹过不止一排，互相碰撞，前一跳的速度带到下一跳。

所以钉板要摆平，顶上的水准泡就是为此。研究钉板动力学的人发现，碰撞的弹性不同，格子里的分布可以明显偏离钟形。

如果每颗钉都以概率 p 让珠子向右，结果仍是二项分布，中心移到第 np 格，方差变成 np(1−p)。模型依次演示 p = 0.5、0.65、0.35：钟形曲线整条平移，宽度略窄一点。