矩阵，是搬动整个平面的方式

网格与两根箭头

铜底板上刻着固定的方格，玻璃上刻着同样的方格。两根铜臂从原点伸出：红色的是 î，指向 (1, 0)；绿色的是 ĵ，指向 (0, 1)。

移动玻璃上的方格有无数种方式。线性变换是其中最规整的一类：每条网格线仍是直线，平行的仍然平行，间隔仍然相等，原点不动。

方格可以被旋转、拉斜、拉伸，甚至翻面，只要满足这几条，就是线性变换。底板上的方格始终不动，作为对照。

两列，就是两个落点

î 落到哪里、ĵ 落到哪里，就决定了整个变换。把两个落点的坐标竖着并排写，就是这个变换的矩阵：第一列是 î 的落点 (a, c)，第二列是 ĵ 的落点 (b, d)。

其他向量都跟着走。向量 v = (x, y) 就是 x 个 î 加 y 个 ĵ；变换之后，它仍是 x 个新的 î 加 y 个新的 ĵ：v′ = x·(a, c) + y·(b, d) = (ax + by, cx + dy)。矩阵乘以向量，就是这条规则。

钢针指着 v = (−1, 1.5)。方格怎么动，它就怎么动，始终停在新方格的同一个格点上。

旋转、错切、伸缩、翻面

旋转 60°：两列是 (0.5, 0.87) 和 (−0.87, 0.5)。所有长度和夹角都不变。

错切：两列是 (1, 0) 和 (1, 1)。î 不动，ĵ 斜到 (1, 1)；横线原地不动，竖线都歪成同样的斜度。

伸缩：两列是 (1.5, 0) 和 (0, 0.6)。横向拉长到 1.5 倍，纵向压到 0.6 倍，两条轴的方向不变。

翻面：两列是 (1, 0) 和 (0, −1)，平面沿横轴翻转。从不变一路连续变到翻面，中途一定有一刻方格被压成一条线：在平面之内，不经过这一刻就翻不过去。

先做一个，再做一个

先错切，再旋转 90°，合起来仍是一个线性变换，也有自己的矩阵。它的两列就是 î 和 ĵ 走完两步后的落点：(0, 1) 和 (−1, 1)。

这个合成的矩阵就是两个矩阵的乘积，写成 R·S：右边的 S 先做，左边的 R 后做，和 f(g(x)) 先算 g 是同一个习惯。

顺序不能交换。先旋转、再错切，两列是 (1, 1) 和 (−1, 0)，正方形停在另一个位置，所以 R·S ≠ S·R。但 (A·B)·C 总等于 A·(B·C)：三步按同样的先后做，括号加在哪里都一样。

面积放大几倍

单位正方形由 î 和 ĵ 围成，面积是 1。变换之后，它变成由两列围成的平行四边形。

平面上所有面积都按同一个倍数变化：每一小格都变成同样的平行四边形，任何形状都可以用小格拼出来。这个倍数叫作行列式。两列为 (a, c) 和 (b, d) 时，它等于 ad − bc。

横向拉到 2 倍，面积变成 2；错切把正方形拉斜，面积仍然是 1。铜牌上的读数，是按平行四边形四个角的坐标量出来的面积，不是代公式算的。

连做两个变换，面积先放大 det(A) 倍，再放大 det(B) 倍，所以 det(B·A) = det(B)·det(A)。

翻面与压扁

行列式可以是负数。原来从 î 转到 ĵ 是逆时针；变换之后如果变成顺时针，平面就像被翻了个面，行列式带上负号，它的绝对值仍是面积的倍数。正方形里的小箭头记着这个转向。

行列式也可以是 0：两列落在同一条直线上，正方形被压成一条线段，整个平面都被压到一条直线上。

压扁之后就回不去了：许多不同的点落到了同一个点上，无从知道它原来在哪里，所以这个矩阵没有逆矩阵。只要行列式不是 0，逆矩阵就存在。

不离开自己那条线

变换时，大多数向量都会转离原来所在的直线。少数向量不会：它们只是被拉长、缩短或反向，仍在原来那条直线上。这样的向量叫特征向量，伸缩的倍数叫特征值。

两列为 (1.5, 0.5) 和 (0.5, 1.5) 的矩阵，把 (1, 1) 方向上的向量都拉长到 2 倍，(1, −1) 方向上的保持原长：特征值是 2 和 1。变换时玻璃上亮起的两条线，就是这两个方向。

错切只有一条这样的线，就是横轴；旋转 90° 一条也没有，每个向量都被转开了。有两条特征线时，沿着它们看，变换只是在两个方向上各自伸缩。