一拉就开的折痕

拉一角，全部打开

模型是一张拉丝黄铜薄板，8 × 7 块平行四边形，展平时约 42 × 35 厘米。它放在胡桃木底座上，中间一个顶点用铜钉固定，一角装着黄铜拉手。

拉手往外走，整张薄板同时变平、变大；往回推，它同时变陡、收小。没有哪一块先动、哪一块后动。

这种折法叫三浦折叠（Miura-ori），约 1970 年在日本的空间研究中提出，用来把大面积的薄膜和太阳能板收进很小的体积。

一个方向直，一个方向折

展开的薄板上全是同样的平行四边形，边长 50 毫米和 56 毫米，夹角 64°。

横着看，折痕是一条条直线。竖着看，折痕是锯齿线，一段向右斜，一段向左斜。

折痕分两种：山折向上凸起，谷折向下凹。每一条锯齿线从头到尾都是同一种，山和谷一条隔一条。每一条直线上，山和谷一段隔一段交替。卡片上印着这张折痕图，红色是山，蓝色是谷。

板不弯，只有折痕在转

折叠时，每一块平行四边形都保持平整，边长和角度都不变。动的只有折痕：两块相邻的板绕着它们之间的折痕转。

这叫刚性折叠。所以它不必用纸：换成由铰链连起来的金属板，照样折得动。模型就是黄铜做的。

刚性折叠的图案并不多。随手画一张折痕图，往往要弯曲纸面才折得起来。三浦折叠不用。

一个顶点上的两笔账

每个顶点上有四条折痕相交，把周围分成四个角：64°、116°、116°、64°。

隔一个取一个，加起来都是 180°：64° + 116° = 180°。这是川崎定理：一个顶点要能完全压平，相间的角之和必须各为 180°。

再数折痕：三条山、一条谷，或者三条谷、一条山。山减谷总是 +2 或 −2。这是前川定理，也是压平的必要条件。

折到一半时，这两笔账也不变：角量的是板面上的角，折叠不会改变它们；山谷也从头到尾不变。

一个角度，决定所有折痕

把每块板与底面的夹角记作 θ。θ = 0 时板是平的，θ = 90° 时完全压扁成一叠。

锯齿线上的折痕，两侧的板一块向上倾 θ、一块向下倾 θ，所以折了 2θ。直线上的折痕折得少一些，折角 ρ 满足 tan(ρ/2) = cos 64° × tan θ。

只要知道 θ，每个顶点的坐标都能写出来：高 H = a·sin θ·sin α，每格长 L = a·√(1 − sin²θ·sin²α)，另外两个量也一样。所以整张板只有一个自由度。拉手改变 θ，其余全部跟着定下来。

一个方向变长，另一个方向也变长

拉长一根橡皮筋，它会变细。大多数材料都这样：一个方向拉长，另一个方向收窄。

三浦折叠相反。沿着直线方向拉开，锯齿方向也跟着张开；推拢一边，另一边也收拢。工程上说，它在纸面内的泊松比是负的。

这个数等于 −tan²α·cos²θ，在整个折叠范围里都小于 0。它只来自几何，跟材料无关。

地图、太阳能板、夹芯板

按这种方式折的地图，拉住对角就能一下展开，推回去又按原来的折痕收好。

1995 年 3 月 18 日发射的日本空间飞行器 SFU，带了一块按这种方式折叠的二维太阳能阵列做试验，在轨道上测试展开和收拢。

把这种折纸夹在两层薄板之间，可以做成又轻又硬的夹芯板。负泊松比也让它成为一类“超材料”的研究对象：性质主要来自折法，而不是材料本身。