斜率与面积互为逆运算

速度表与里程表

一辆车起步、匀速、刹车，用了 12 秒。黄铜样板的轮廓是它的速度随时间变化的曲线。

速度表读的是此刻的速度，就是曲线在这一刻的高度。里程表读的是到此刻为止走过的路程，就是从 0 到这一刻、曲线下的面积。

托架上的笔同时画出路程随时间的曲线（右侧刻度，单位米）。这条曲线在每一点的斜率，就是那一刻的速度：路程增长得多快，车就开得多快。后沿的小路上，模型车按里程表的读数前进。

放大看，就是斜率

曲线是 y = x²。直尺搭在两个滚轮上，一个在 x，另一个在 x + h。直尺的斜率是 (f(x + h) − f(x)) / h，叫割线斜率。

两个滚轮靠近，h 变小，割线转向切线。对 x²，割线斜率正好是 2x + h，h 越小越接近 2x。

托架移开，样板抬起，玻璃上留下曲线和切线。把曲线在一点附近放大，它越来越像一条直线，和切线几乎分不开。导数就是这条直线的斜率：在 x 处，y = x² 的导数是 2x。

面积，是许多细条

曲线下的面积可以切成宽 dx 的细条，每条近似看成矩形：宽 dx，高取曲线上某一点的值。所有矩形加起来，叫黎曼和。

高可以取细条的左端、右端或中点。dx 越小，三种和都越接近真实面积。取左端或右端时，误差大致和 dx 成正比；取中点时，误差和 dx² 成正比，缩得快得多。

细条无限变细时，和的极限就是积分 ∫ f(x) dx。

面积增长的速度

把托架向右推一小段 dx，面积多出一条细条：宽 dx，高差不多就是曲线在那里的高度 f(x)。所以面积的增量 dA ≈ f(x)·dx。

两边除以 dx：面积随右边界增长的速度 dA/dx 等于 f(x)。dx 越小，这个等式越准。这就是微积分基本定理。

托架上的积分器把这件事做成了机械：圆盘随托架转动，钢球离圆盘中心的距离与曲线的高度成正比，压在球上的圆柱转得多快，取决于球离中心多远。圆柱转过的总角度与面积成正比，计数器把它读成面积。

笔画出面积曲线 A(x)。玻璃上画出它在托架处的切线：切线的斜率处处等于原来曲线的高度。先积分，再求导，回到 f。

正方形多出两条边

边长为 x 的正方形，面积是 x²。边长增加 dx，面积多出两条长 x、宽 dx 的细条，加上角上一个 dx × dx 的小方块。

增量是 2x·dx + dx²。dx 很小时，角上的小方块比两条细条小得多，可以忽略。所以面积增长的速度是 2x：这就是 x² 的导数。

单位圆上的 sin

单位圆上，从横轴转过角 θ 的点，高度是 sin θ。

沿圆弧再走一小段 dθ，点的移动方向和半径垂直。这一小步的竖直分量是 cos θ·dθ：高度的增长速度是 cos θ。

所以 sin 的导数是 cos。直尺在 sin 曲线上的斜率，处处等于圆上那一点的横坐标。

增长速度等于自身

eˣ 是唯一一个这样的函数：在每一点，它增长的速度都等于它当时的值，并且在 x = 0 时等于 1。

直尺在 eˣ 上的斜率，正好等于那一点的高度。从 x = −2.5 开始累积面积，面积曲线就是 eˣ − e⁻²·⁵，只比 eˣ 低 0.08；从更远处开始，差得更少，从 −∞ 开始就完全重合。

复数里的指数也遵守这条规则：速度等于 i 乘以位置，点就沿单位圆匀速转动，这就是欧拉公式。