每两个圆都扣在一起

每个点上方，一个圆

平面上满足 x² + y² = 1 的点组成圆。四个数 a² + b² + c² + d² = 1 的点组成三维球面 S³，它在四维空间里。把四个数写成两个复数 z₁、z₂，条件就是 |z₁|² + |z₂|² = 1。

映射 h(z₁, z₂) = (|z₁|² − |z₂|², 2 z₁ z̄₂) 给出三个实数，平方和正好是 1，所以 h 把 S³ 的每一点送到普通球面 S² 上的一点。

把 z₁、z₂ 同时乘上 e^(iθ)：两个模都不变，z₁ z̄₂ 也不变，h 的值不变。θ 走一圈，在 S³ 里画出一个圆。S² 上每一点的原像正好是这样一个圆，叫这一点上方的纤维。不同点的纤维互不相交。

左边的瓷球是 S²，红色针头是其中一点 P。右边的红线是 P 上方的纤维，钢珠沿它走一圈，在 S² 上的像始终是 P。

投影到三维

S³ 不能直接画在三维空间里，得先投影。球极投影从 S³ 上的一点 N 出发，把其余每一点沿直线送进三维空间。N 本身被送到无穷远。

低一维更容易看：从圆顶上一点投影，圆变成一条直线；从球顶上一点投影，球面变成平面。这种投影把圆变成圆，只有经过 N 的圆变成直线。

纤维在 S³ 里都是大圆，投影后仍是圆。经过 N 的那一条成了直线，就是模型中央的蓝钢杆，对应瓷球的顶点；底点上方的纤维是绕杆的单位圆。

记 P 在瓷球上的高度为 p₁，底点是 −1，顶点是 1。P 往上走，红圈的半径按 √(2/(1 − p₁)) 变大，到顶点成为直线。

两两相扣

红圈和蓝圈没有交点，却扣在一起：不剪断其中一个，就分不开。任意两条纤维都这样扣着，各扣一次。

扣了几次可以算：Gauss 环绕数是沿两条曲线的一个二重积分，结果总是整数。读数是模型上红、蓝两圈实时算出的值。

中央的直线也是一条纤维，所以每个圆也都套在杆上。

纬线变成环面

在 S² 上取一条纬线，把它每一点上方的纤维放在一起，得到一个环面。纬线越靠近顶点，环面越大；越靠近底点，环面越细，缩向中间的单位圆。

环面上的这些圆是 Villarceau 圆：用一个同时在两处与环面相切的斜平面切开环面，切口就是两个这样的圆。设 A = √((1 + p₁)/2)，B = √((1 − p₁)/2)，环面的大半径是 1/B，管半径是 A/B，每条纤维的半径也是 1/B。

三个环面对应瓷球上镶嵌的三条纬线，铜、黄铜、镍银，p₁ 依次为 −0.8、−0.42、0.1。

填满空间

纬线铺满 S²，环面就一层套一层，铺满三维空间。空间里每一点都恰好在一条纤维上：在某个圆上，或者在中央的直线上。

局部看，S³ 像一小块 S² 乘上一个圆。整体却不是 S² × S¹：在 S² × S¹ 里，沿圆的方向绕一圈的回路收缩不成一点；在 S³ 里，任何回路都能收缩成一点。圆是拧着拼在一起的，两两相扣就是这种拧法的样子。

转动与量子比特

四个数也可以写成一个四元数 r = a + bi + cj + dk。单位四元数正好组成 S³，每一个代表三维空间里的一次转动。

按 r 转动一根指针，指针尖落在 S² 上的一点，这就是 h(r)。让指针再绕自己转一个角，指针尖不动，转动却变了：所有把指针送到同一点的转动，组成一条纤维。

针头上的小叶片表示绕指针的转角。叶片转一整圈，钢珠只沿纤维走半圈；转两整圈才回到起点。r 和 −r 是同一次转动，S³ 把每个转动数了两遍。

一个量子比特的状态是一对复数 (α, β)，|α|² + |β|² = 1，也就是 S³ 上一点。整体乘上 e^(iθ) 在测量中看不出区别，所以可区分的状态是一条纤维，对应 S² 上一点，这个 S² 叫 Bloch 球。

收不回一点

1931 年，Heinz Hopf 发表了这个映射，并证明它不能连续变形成常值映射，也就是把整个 S³ 送到一点。从高维球面到低维球面的映射里，这是第一个被证明收不回一点的例子。

他用的就是扣环。取 S² 上两点，它们上方两条纤维的环绕数在连续变形中保持不变。常值映射的这个数是 0，h 的是 1。这个数后来叫 Hopf 不变量。

同样的构造还有两个：四元数给出 S⁷ → S⁴，纤维是 S³；八元数给出 S¹⁵ → S⁸，纤维是 S⁷。1960 年 J. F. Adams 证明，除了平凡的 S¹ → S¹，Hopf 不变量为 1 的映射只在这三种维数里存在。