对面的点，同样的天气
任何时刻，地球上都有两个正相对的点，温度相同，气压也相同。这不靠气象，只靠球面的形状。
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赤道上，相对的两点
先看一个圆。沿赤道走一圈，每个地方都有一个温度 T(x)。正对面的点记作 −x。
设 h(x) = T(x) − T(−x)。把 x 换成 −x，两项交换，h 变号：h(−x) = −h(x)。如果 h 在 x 处是正的，在 −x 处就是负的。
从 x 沿赤道走到 −x，h 从正变到负，中间某处等于 0（介值定理）。在那里，相对的两点温度相同。
模型上，钢环上的两根指针总指着一条直径的两端。地球仪在指针下转动，两端的温差为 0 时停一下。
温度和气压，同时相等
地球表面每一点有两个数：温度和气压。合起来是从球面 S² 到平面 R² 的映射 f(x) = (T(x), p(x))。
Borsuk–Ulam 定理：只要 f 连续，就有一点 x 使 f(x) = f(−x)。也就是说，任何时刻地球上都有两个相对的点，温度相同，气压也相同。
红线上是 T(x) = T(−x) 的点，蓝线上是 p(x) = p(−x) 的点。两条线都关于球心对称：x 在线上，−x 也在。它们的交点就是要找的点，成对出现，指针停在其中一对上。
定理对任何维数都成立：从 n 维球面 Sⁿ 到 Rⁿ 的连续映射，总把某一对对径点送到同一点。这个说法最早是 Ulam 的猜想，1933 年由 Borsuk 证明。
为什么一定有
设 g(x) = f(x) − f(−x)。它满足 g(−x) = −g(x)，这样的映射叫奇映射。要证的是：g 一定有零点。
假设 g 处处不为零，看它的方向。沿赤道从 x 走到 −x，g 正好反向，方向转过半圈的奇数倍；后半程是前半程的反面，转过的角度相同。所以走完一整圈，g 绕原点转奇数圈，不可能是 0。
再把这个圈向北极收缩。只要途中 g 不为零，圈数只能连续变化，而它是整数，所以不变。可是缩到北极只剩一点，圈数是 0。奇数不等于 0，所以 g 必有零点。
图中是纬线圈在 (ΔT, Δp) 平面上的像。纬线每扫过一个零点，圈数就变一次，到北极变成 0。所以一般情况下，这样的点对有奇数对。
一刀，三样都切成两半
空间里任意三块有体积的东西，总有一个平面把每一块都分成体积相等的两半。这叫火腿三明治定理：面包、火腿、奶酪，一刀下去，三样都平分。
证明用的正是 Borsuk–Ulam。对每个方向 u，取垂直于 u、把黄铜平分的平面，记下平面一侧有多少瓷、多少乌木。这是从 S² 到 R² 的映射。
方向换成 −u，还是同一个平面，只是两侧对调。所以有一个方向 u 让两侧一样多：瓷和乌木也都被平分了。
柜里的三样各由几个球组成，球不必连在一起，定理照样成立。平面在找的时候总把黄铜平分；读数是三样在平面一侧所占的比例。
两个人分一串项链
一串开口的项链上有两种宝石，每种都是偶数颗。两个人要平分每一种，最少剪几刀？
把项链看成一条线段，在球面上取一点 x = (x₁, x₂, x₃)，按 x₁²、x₂²、x₃² 的比例把线段剪成三段。坐标为正的段归第一个人，为负的归第二个人。
第一个人分到的两种宝石的数量，是从 S² 到 R² 的映射；x 换成 −x，两人对调。定理给出一个 x，让两人分到的一样多，最多剪两刀。刀口落在珠子中间时，可以挪到珠子之间，仍然公平。
这串有 8 颗石榴石、10 颗珍珠。剪一刀分不平，剪两刀，每人 4 颗石榴石、5 颗珍珠。k 种宝石，k 刀够用；q 个人分（每种的颗数是 q 的倍数），(q − 1)k 刀够用。
三块盖不住
用四块闭区域盖住球面，可以让每一块里都没有一对对径点：把一个正四面体从中心投到球面上，四个面各成一块。
只用三块就不行。三块闭集盖住球面，其中一块一定含有一对对径点。这是 Lyusternik 和 Schnirelmann 1930 年的结果，和 Borsuk–Ulam 定理等价。
从 Borsuk–Ulam 推出它：设三块是 A₁、A₂、A₃，令 f(x) = (x 到 A₁ 的距离, x 到 A₂ 的距离)。总有一点 f(x) = f(−x)。第一个距离是 0，x 和 −x 都在 A₁；第二个是 0，都在 A₂；都不是 0，两点都不在 A₁、A₂，只能都在 A₃。
模型上，四块中的两块合成一块，指针的两端就落进了同一块。
实验台
地球仪上的暖、冷、高压、低压针可以拖动，天气随之改变，钢环上的指针跟着找到温度和气压都相等的一对点；手机上轻点地球仪，最近的一根针移过去。柜里的三组球可以沿柜底拖动，切面跟着更新。「打乱」换一种随机的天气。读数是两端的温度和气压，以及这样的点对一共有几对。
试一试如果要同时比较温度、气压和湿度三个量，还能保证地球上有一对相对的点三样都相同吗？
模型省略了什么
天气是编的：温度随纬度变化，加上两暖两冷四个团块和一道行星波；气压是气压带、两高两低和一道波。真实的温度、气压不一定处处连续（锋面附近变化很陡），定理需要连续。地球仪是正球，海岸线只是装饰，不影响天气。读数保留一位小数，指针找到的点在计算中相差不到百万分之一度。
容易误解的地方
对径点是直径的两端：纬度相反，经度差 180°，不是同一纬度上经度差 180° 的点。定理只说这样的点对存在，不说在哪里；天气一变，点对就移动。两个量是上限：加上第三个量（比如湿度），一般就找不到三样都相等的一对。火腿三明治定理平分的是体积，不要求形状对称；n 维空间里能同时平分的是 n 样东西。
资料来源
- Karol Borsuk（1933）：Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre，Fundamenta Mathematicae 20: 177–190（Satz II 及注 7：Ulam 的猜想；Satz III：n + 1 块闭集）
- Jiří Matoušek（2003）：Using the Borsuk–Ulam Theorem，Springer Universitext（定理 2.1.1、3.1.1，第 3 章项链）
- C. H. Goldberg, D. B. West（1985）：Bisection of Circle Colorings，SIAM J. Algebraic Discrete Methods 6: 93–106
- N. Alon, D. B. West（1986）：The Borsuk–Ulam Theorem and Bisection of Necklaces，Proc. AMS 98: 623–628
- N. Alon（1987）：Splitting Necklaces，Advances in Mathematics 63: 247–253
- A. H. Stone, J. W. Tukey（1942）：Generalized “sandwich” theorems，Duke Math. J. 9: 356–359
- W. A. Beyer, A. Zardecki（2004）：The Early History of the Ham Sandwich Theorem，Amer. Math. Monthly 111: 58–61
- 海岸线：ETOPO1，NOAA
数据
Karol Borsuk proved the theorem in “Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre”, Fundamenta Mathematicae 20 (1933), where the equal-values form is credited as a conjecture of Stanisław Ulam; the covering form is in L. Lusternik and L. Schnirelmann’s 1930 monograph. The proofs and applications follow Jiří Matoušek, Using the Borsuk–Ulam Theorem (Springer, 2003); the necklace theorem is due to C. H. Goldberg and D. B. West (1985), with the short Borsuk–Ulam proof of N. Alon and D. B. West (1986) and the many-thief version of N. Alon (1987). The weather on the globe is made up for this page; the coastlines come from ETOPO1 (NOAA). The globe, the caliper, the case and the necklace are our own model; the 3Blue1Brown videos served only as a reference.
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沿这个问题继续
图版 M12每两个圆都扣在一起四维空间里的三维球面，可以分成无数个互不相交的圆，每个圆对应普通球面上的一个点。投影到三维，任意两个圆都扣在一起。
图版 M06转半圈，是 e 的 iπ 次方eⁱᵗ 是一个沿单位圆匀速行走的点，速度永远是位置的 i 倍。走过时间 π，它到了 −1。
