只用一种形状，永不重复

八个风筝形

把正六边形的中心和六条边的中点连起来，它就分成六个风筝形。这样的六边形铺满平面，得到一张风筝形网格。每个风筝形有两条长 1 的短边、两条长 √3 的长边，面积是 √3。

帽子由网格里的 8 个风筝形拼成，面积 8√3。它有 13 条边：一条长 2，其余长 1 或 √3。把长 2 的那条看成两条长 1 的边，它就是 14 条边，每条不是 1 就是 √3。

模型上抬起的那一块就是一顶帽子。它原来的位置空出来，露出刻在底板上的风筝形网格。

铺满，但不重复

如果把整个图案平移一段距离后，它能和原来完全重合，这种铺法就是周期的。一组形状能铺满平面，却只能以非周期的方式铺，这组形状就叫非周期的。

1966 年，第一组被证明非周期的瓷砖有 20426 种。1970 年代，数目降到了 2。只用 1 种形状能不能做到，一直没有答案。这样的单块瓷砖也叫 einstein，德语的意思是「一块石头」。

帽子最初是靠手工、在纸上和拼图软件里试出来的。电脑先给出两条线索：如果它铺不满平面，围着一块至少还能围出 16 圈；如果它能周期地铺，一个周期里至少要有 64 块位置各不相同。两种情况都会远远打破当时的纪录。2023 年 3 月发表的论文证明，它能铺满平面，而且只能非周期地铺。

有几块要翻过来

帽子没有任何对称，它的镜像和它本身不一样。一块瓷砖翻个面，得到的就是镜像。模型上的瓷砖正面是白釉，背面是深蓝釉；露出蓝色的就是翻过来的那几块。

每一种帽子铺法都要用到翻面的砖，但它们很稀疏：每一块都被三块不翻面的砖围成同样的一圈。

按替换规则计算，不翻面和翻面的块数之比趋向 φ⁴ ≈ 6.854，φ 是黄金比 (1 + √5)/2。读数是模型这一片里实际数出来的比。

翻面算不算另一种形状？几何里，能经过平移、旋转或镜面反射重合的两个图形算全等，所以帽子仍是一种形状。

四种拼块

帽子总是成团出现，一共四种团：一块翻面的砖和围着它的三块，共 4 块；三团这样的组合中间夹着的单独一块；两块并排的一对，有两种不同的用法。

把每团的边界拉直，得到四种简单的形状：六边形 H、三角形 T、平行四边形 P、五边形 F。它们叫元拼块。帽子的凹凸决定了它们之间怎样相接，这些规则可以记在元拼块的边上。

模型上的黄铜框就是元拼块的边界。框会从帽子中间穿过：元拼块是为了推理而画的形状，帽子随着它们一起排布。

放大，再放大

元拼块按固定的方式拼成更大的块，拼出来的大块又分成 H、T、P、F 四种，彼此相接的方式和原来一样。所以可以一直拼下去，每一级都由上一级拼成。

一个 H 由 3 个 H、1 个 T、3 个 P、3 个 F 拼成；T 由 1 个 H；P 由 2 个 H、1 个 P、2 个 F；F 由 2 个 H、1 个 P、3 个 F。

每一级的形状并不是上一级的精确放大，但越来越接近。长度每级放大约 φ² ≈ 2.618 倍，面积约 φ⁴ ≈ 6.854 倍。模型上一级套一级的 H 里分别有 4、25、169、1156 块帽子，正好是 2²、5²、13²、34²。

这种层层嵌套的结构排除了周期。如果图案平移后能和自己重合，足够大的一块会和平移后的自己部分重叠，其中的帽子就同时属于两个不同的大块。论文用两套独立编写的程序穷举情形，证明每块帽子所属的层级只有一种。

一族形状

帽子的边只有两种长度。把长 1 的边都换成 a，长 √3 的边都换成 b，角度不变，得到 Tile(a, b)。帽子是 Tile(1, √3)；Tile(√3, 1) 由 10 个风筝形拼成，叫「海龟」。

只要 a、b 都大于 0 且不相等，Tile(a, b) 都是非周期单砖，而且它的铺法和帽子的一一对应：同一种铺法，只是边长变了。模型上所有瓷砖在一起变形，始终严丝合缝。

例外有三个，它们都能周期地铺：人字形 Tile(0, 1)、彗星形 Tile(1, 0)，和等边的 Tile(1, 1)。

在由 24 个以内的风筝形拼成的形状里，电脑搜索只找到帽子和海龟这两个非周期的。

为什么不能循环

论文给了两个证明。一个是上一章的层级结构，需要电脑检查大量情形。另一个只用几何。

假设帽子有一种周期铺法。把所有长 1 的边缩成 0，每块帽子变成人字形，即 4 个边长 √3 的正三角形，面积 3√3。把长 √3 的边缩成 0，每块变成彗星形，即 8 个边长 1 的正三角形，面积 2√3。两种新铺法也都是周期的，它们的周期一一对应，对应的变换把面积缩成 2/3。

论文接着证明，这个变换只能是均匀的缩放，长度要缩成 √(2/3) 倍。可是在三角形网格上，两个格点距离的平方总是 m² + mn + n² 的形式，其中因子 2 的个数总是偶数，所以两段格点距离之比不可能是 √2。这就矛盾了，周期铺法不存在。

不翻面的幽灵

帽子的铺法总要翻面，有人因此说它其实是两种砖。两个月后，同一组作者给出回答：等边的 Tile(1, 1) 如果规定不许翻面，就只能非周期地铺。

再把它的直边换成弯边，相邻两条一凸一凹，翻过来的砖就拼不进去了。这样的形状叫 Spectre（幽灵）：铺满平面时，所有砖都朝同一面，而且只能非周期。

它的替换只有两条：一块 Spectre 换成一个 Mystic（两块拼成的一组）加七块 Spectre；一个 Mystic 换成一个 Mystic 加六块。每替换一级，面积放大 4 + √15 ≈ 7.873 倍，所有砖的朝向也都反过来一次。

模型上颜色较深的，是每个 Mystic 里转了 30° 的那一块。其余的砖和它们的块数之比，也趋向 4 + √15。