球面摊不平

剥下来的皮

做地球仪的人先把地图印成一瓣一瓣的纸条，再贴到球上。这样的纸条叫贴面（gore）。

模型上，球皮沿经线切成 12 瓣，每瓣宽 30°，摊到图板上。每一瓣在赤道上和邻居相接，越往两极越窄，中间留出空隙。

要把空隙合上，就得把纸横向拉长；靠近两极要拉得越多。切得越细，每瓣越接近平的，但空隙不会消失。

高斯的「绝妙定理」

球面上，从北极沿 0° 经线走到赤道，左转 90°，沿赤道走到东经 90°，再左转 90°，回到北极，又是 90°。三角形三个角加起来是 270°，平面上永远是 180°。

多出来的 90° 正好等于这个三角形的面积除以半径的平方（Girard 定理）。圆也一样：球面上半径为 r 的圆，周长是 2πR·sin(r/R)，比平面上的 2πr 短。

高斯在 1827 年证明，曲面的曲率只由曲面上的距离决定，不需要看它在空间里怎么弯。这就是「绝妙定理」（Theorema Egregium）。球面的曲率处处是 1/R²，平面是 0。

所以，如果一张地图保持了所有距离，它就必须保持曲率，这不可能。欧拉在 1777 年已经证明过：球面不能完全准确地画到平面上。

能摊平的曲面

圆柱、圆锥能摊平：剪开一条线，展开就是平的，纸上任何一段长度都不变。它们看起来是弯的，曲率却是 0，因为每一点总有一个方向是直的。

所以很多投影分两步：先把球面上的点放到圆柱、圆锥或切平面上，再把它们展开。变形全部发生在第一步；展开本身不拉伸。

模型上，球皮依次贴到圆柱、圆锥和一张与球相切的平面上。

墨卡托：保住角度

1569 年，墨卡托出版了一幅给航海用的世界地图。经线画成等距的竖线，纬线是横线，纬线之间的间隔越往两极越大。

在纬度 φ 处，东西方向被放大 1/cos φ 倍，也就是 sec φ。墨卡托把南北方向也放大同样的倍数，于是任何一点附近，各个方向的放大倍数相同，小图形的形状和角度都不变。这样的投影叫保角（conformal）投影。

代价是面积。放大倍数是 sec φ，面积就放大 sec² φ：在 60° 是 4 倍，在 80° 是 33 倍。两极在无穷远处，所以地图只画到 84°。

图上的红色珐琅圆片在球面上一样大，都是半径 6.5° 的小圆。在墨卡托图上它们仍然是圆，只是越往北越大。

水手为什么要它

船按罗盘保持一个固定的航向，走出的路线叫恒向线（rhumb line）。它和每一条经线的夹角相同，在地球仪上是一条绕向极点的螺线。

墨卡托图保角，经线又都是平行的竖线，所以恒向线在图上是直线。用尺子连起起点和终点，量出它和竖线的夹角，就是要走的罗盘航向。

从纽约到伦敦，恒向线的航向一直是北偏东约 78°，长约 5790 千米。最短的路是大圆航线，约 5570 千米，出发时朝北偏东约 51°，一路要不断改变航向。大圆航线在墨卡托图上弯向北方。

纬线间隔怎样增大才正好保角，是爱德华·赖特在 1599 年用逐段累加 sec φ 的表算出来的，也就是 ln tan(45° + φ/2)。

格陵兰和非洲

格陵兰的面积约 217 万平方千米，非洲约 3037 万平方千米，非洲是格陵兰的 14 倍。在墨卡托图上，两者看起来差不多大。

模型把格陵兰的轮廓沿球面挪到赤道。轮廓本身在球面上不变，只是换了一个位置；挪到赤道后，它在墨卡托图上缩成真实的大小。

这不是墨卡托的错误，而是选择：一张保角的地图不可能同时保面积。航海图要的是航向，不是面积。

保住面积

阿基米德发现，球面上两条纬线之间的面积，等于外切圆柱上同样高度之间的面积。把球面上的点水平推到圆柱上，面积处处不变。展开后就是兰伯特等积圆柱投影（1772 年）。

面积保住了，形状就要变：赤道附近被竖着拉长，高纬度被压扁。图上的圆片变成椭圆，每一个椭圆的面积都和原来的圆相同。

摩尔魏德投影（1805 年）把整个球画进一个 2:1 的椭圆，等地球投影（Equal Earth，2018 年）让边缘更像球的轮廓。它们也都等积，只是把变形分配到不同的地方。

球心的灯

把玻璃地球仪的球心点亮，陆地的影子落在一块与球相切的玻璃屏上。这就是心射投影（gnomonic），最古老的投影之一。

它有一个独特的性质：所有大圆都变成直线。大圆所在的平面通过球心，也就是通过灯；这个平面和屏幕相交，交线是直线。

大圆是球面上最短的路。在心射图上用尺子连起两座城市，得到的就是最短航线，再把它逐段画到墨卡托图上来定航向。

代价是：离切点越远，放大得越厉害；到 90° 就到了无穷远，所以一张心射图连半个地球都画不下。

从中心量出的距离

方位等距投影（azimuthal equidistant）保住两样东西：从中心出发的方向，和到中心的距离。从中心量到图上任何一点的直线长度，就是球面上的真实距离。

以北极为中心，纬线是一圈圈等距的同心圆。联合国会徽上的地图就是这种投影，以北极为中心，画到南纬 60°。

中心的对面一点，在图上被拉成外面的整个圆。图上的同心圆每隔 2000 千米一圈。

剪成二十面

富勒把地图放到一个正二十面体上：先把球面投到二十个平的三角形面上，再沿棱剪开、展平。1943 年的第一版用的是立方八面体，1954 年改为二十面体。

每个面只覆盖地球的 1/20，所以每个面里的变形都不大。剪开的棱都选在海上，陆地连成一整片，看不出哪边是「上」。

模型的展开方式是按海岸线选的：保留跨过陆地最多的棱，剪开其余的棱。正二十面体的任何沿棱展开都不会自己重叠。

诚实的尺子

1859 年，蒂索给出了一个衡量变形的办法：在球面上画一个很小的圆，看它在地图上变成什么。任何投影都把它变成一个椭圆（或者仍是圆）。

椭圆两个半轴 a、b 说明了一切：a = b，角度不变（保角）；a·b = 1，面积不变（等积）；某个方向长度为 1，那个方向上距离不变。

没有一种投影能让所有的椭圆都是同样大小的圆，这正是高斯定理的结论。读数是当前地图在 ±60° 纬度之间的最大面积倍数和最大角度变形。