平行线不止一条
两千年里，人们想从其余公理推出欧几里得的第五公设，都没有成功。19 世纪，几个人分别发现，把它换掉也能得到一套没有矛盾的几何。这块搪瓷盘上的每一块砖都一样大。
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第五公设
欧几里得的《几何原本》大约写于公元前 300 年，开头列出五条公设。前四条很短，比如「两点之间可以连一条直线」。第五条长得多：两条直线被第三条直线所截，如果同侧两个内角之和小于两个直角，这两条直线延长后就在这一侧相交。
它等价于一个更常见的说法（Playfair，1795）：过直线外一点，有且只有一条直线和它不相交。
很多人觉得它不像公设，更像一条应该能证明的定理。从古希腊到 18 世纪，一次又一次的「证明」都被发现暗中用到了与它等价的假设。1733 年，萨凯里假设它不成立，想推出矛盾；他推出了一连串奇怪但并不矛盾的结论。
不止一条
1820 年代，匈牙利的鲍耶·亚诺什和俄国喀山的罗巴切夫斯基各自走得更远：他们接受「过直线外一点有不止一条平行线」，系统地推出了一整套几何。罗巴切夫斯基 1829 年发表，鲍耶的著作 1832 年作为他父亲书的附录出版。高斯更早有类似的想法，但从未发表。
在这种几何里，过点 P 不与直线 L 相交的直线有无穷多条。它们夹在两条「极限平行线」之间：这两条在无穷远处才和 L 会合。
极限平行线和 P 到 L 的垂线所夹的角叫平行角，记作 Π(d)，d 是 P 到 L 的距离。罗巴切夫斯基给出 tan(Π/2) = e⁻ᵈ：P 离得越远，平行角越小。距离很近时它接近 90°，几何看起来就像欧几里得的。
一个真实的曲面
这套几何会不会在某处藏着矛盾？1868 年，贝尔特拉米指出，在一种叫伪球面的曲面上，最短路径和它们构成的三角形正好满足这套几何的规则。
伪球面由曳物线绕轴旋转而成，像一只无限长的号角。它的高斯曲率处处是 −1/R²，和球面的 +1/R² 正好相反。从边缘沿表面往上，每走 R·ln 2，一圈的周长就减半；它无限高，面积却只有 2πR²。
伪球面只容纳双曲平面的一小块，而且边缘是一条尖棱。1901 年希尔伯特证明，三维空间里没有一个完整、光滑的曲面能装下整个双曲平面。所以要看整个平面，就要换一种画法。
一只圆盘装下无限
庞加莱圆盘把整个双曲平面画进一个圆里。盘上的直线（最短路径）是和边缘垂直相交的圆弧，经过圆心的是直径。角度画得准确，长度不准：越靠近边缘，同样的长度画得越短。
盘上每一块砖其实一样大、形状相同，只是越靠近边缘画得越小。边缘本身不属于这个平面，它在无穷远处：从圆心走到盘半径 0.9 处，双曲距离是 2.94；到 0.99 处是 5.29；到 0.999 处是 7.6。
这只盘在缓慢地移动。移动用的是保持距离的变换（莫比乌斯变换），所以砖在靠近中心时变大，走向边缘时变小，彼此之间始终严丝合缝。
上半平面
同一个平面还能换一种画法：上半平面。边界是一条水平直线，平面是它上方的部分。这里的直线，是圆心在边界线上的半圆，以及和边界垂直的竖直线。
长度按离边界的高度缩放：高度为 y 处，一小段的长度是画出长度除以 y。所以越接近边界线，砖越小，而边界线同样在无穷远处。
圆盘和上半平面之间有一个保角的变换，模型上就是把盘的边缘慢慢撑开、拉直。两种画法描述的是同一个平面，只是看的位置不同。
小于 180°
双曲平面上，三角形的内角和总是小于 180°。少掉的那部分正好是三角形的面积（曲率为 −1 时）：面积 = π − (α + β + γ)。这是高斯–博内定理的一个特例。
所以三角形越大，内角和越小。三个顶点都推到无穷远时，三个角都变成 0，面积是 π：任何三角形的面积都不超过这个数。
相似三角形在这里不存在：内角相同的两个三角形面积相同，于是全等。长度有了一个天然的单位。
正多边形的铺法
用全等的正 p 边形铺满平面，每个顶点处 q 块相遇，这种铺法记作 {p, q}。平面上只有 {3, 6}、{4, 4}、{6, 3} 三种；球面上有五种，对应五种正多面体。
双曲平面上，只要 (p − 2)(q − 2) > 4，{p, q} 就存在，所以有无穷多种。例如 {7, 3}：正七边形，每个顶点三块，每个角都是 120°，而平面上的正七边形每个角约 128.6°。
每块砖的面积由高斯–博内定理直接算出：(p − 2)π − 2πp/q。{7, 3} 的一块是 π/3。
镜子生出来的图案
每块正多边形可以切成 2p 个全等的小直角三角形，角分别是 π/p、π/q 和 90°。以这个三角形的三条边为镜子反复反射，就得到整个铺法，一黑一白，相邻的两块颜色相反。
模型上的每一块砖都是这样算出来的：对盘上的每一个点，用反射（或者等价的旋转）把它一步步移回中心那块砖里，记下走了几步、落在哪个小三角形里。
1957 年，几何学家考克斯特在一篇论文里画了一幅这样的图：角为 30°、45°、90° 的三角形，一黑一白铺满圆盘。第二年，版画家埃舍尔看到它，写信说这幅图让他「大吃一惊」，随后按这个思路做出了一组作品。
圆极限
埃舍尔的「圆极限」共四幅木刻，1958 到 1960 年完成。画面是一只圆盘，里面的鱼、天使和蝙蝠越靠近边缘越小，数学上它们都一样大。
在《圆极限 III》里，鱼沿着白色的弧线首尾相接。这些弧线并不是直线：它们和边缘的夹角约为 80°（79.97°），不是 90°。考克斯特在 1979 年算出了这个角，这些弧是「等距线」，即与某一条直线保持固定距离的曲线。
模型上，白色的弧是一条等距线，红色的是它旁边的直线：两者在边缘交于同样的两点，只是角度不同。版画本身受版权保护，这里只用我们自己的图案说明它的几何。
指数增长的空间
在平面上，半径为 r 的圆周长是 2πr。在双曲平面上是 2π sinh r，随 r 指数增长。半径为 10 时，它是平面圆的一千多倍。
砖也一样。{7, 3} 从中心那块向外，每过一条边算一层：1、7、21、56、147、385……每层大约是上一层的 2.618 倍，即 (3 + √5)/2。
这也是为什么树状结构和网络容易放进双曲空间：分叉越来越多的结构需要指数增长的空间，平面放不下，双曲平面刚好。
用钩针做出来
1997 年 6 月，在康奈尔大学的一次讲习班上，数学家戴娜·泰米尼亚用钩针钩出了双曲平面的模型。此前人们用纸条拼成的环来做，很容易破。做法很简单：每钩 n 针多加一针，于是每一行比上一行长 (n + 1)/n 倍，行长按指数增长。
平面放不下多出来的长度，织物只能起皱、翻卷。整块织物的每一处，弯曲程度都差不多一样，像一块不断长大的双曲平面。模型上这一片 n = 3，每行是上一行的 4/3。
海带、一些珊瑚、皱叶甘蓝和生菜的叶缘也有类似的起皱：边缘长得比内部快，多出的长度只能起皱。它们的曲率并不处处相同，但道理一样：对叶片的实验和计算表明，边缘多长出一点，就会翻出一级一级的皱褶。
实验台
在盘上拖动，整个平面随之移动；点一下，那一点滑到中心。选 p 和 q 换一种铺法。「测地线」下点两点，画出经过它们的直线和两点间的距离；「三角形」下点三点，读出三个角、内角和与面积。
试一试在实验台上量一个三角形，把三个顶点往边缘拖，内角和会怎样变？面积为什么永远不超过 π？
模型省略了什么
双曲平面无穷大，盘上只画到砖小于几个像素为止，更外面的砖混成一片底色；边缘那一圈并不属于平面。黄铜丝的宽度在双曲意义下是固定的，所以往外越来越细。砖的颜色是装饰，不表示任何数学性质。伪球面截到半径约为边缘的 4% 处，上面加了一个圆头；真实的伪球面向上无限延伸。钩针织物的形状是按「每行长 4/3 倍」算出的近似曲面，不是对纱线的模拟。上半平面一章只画了圆形盘面里的一部分。埃舍尔的版画没有复制，只描述了它们的几何。
容易误解的地方
盘的边缘附近的砖并不比中心的小，只是画小了；盘上的生物要是测量自己的砖，会发现处处一样大。双曲几何不是「错误的」几何，它和欧几里得几何一样自洽：如果它有矛盾，欧几里得几何也有。马鞍面只在一点附近像双曲平面，它的曲率并不处处相同。《圆极限 III》的白弧不是双曲直线。珊瑚和生菜只是近似地起皱，不是严格的双曲平面。高斯有过类似的想法，但没有发表，通常把这套几何归功于鲍耶和罗巴切夫斯基。
资料来源
- 欧几里得《几何原本》第一卷，第五公设（D. E. Joyce 的在线版本）
- MacTutor：Non-Euclidean geometry（圣安德鲁斯大学数学史档案）
- MacTutor：János Bolyai
- MacTutor：Nikolai Lobachevsky
- MacTutor：Eugenio Beltrami
- J. Stillwell（1996）：Sources of Hyperbolic Geometry，AMS/LMS（贝尔特拉米、克莱因、庞加莱原文的英译）
- D. Hilbert（1901）：Über Flächen von konstanter Gaußscher Krümmung，Trans. AMS 2: 87–99
- J. W. Cannon 等（1997）：Hyperbolic Geometry，收于 Flavors of Geometry，MSRI Publications 31
- H. S. M. Coxeter（1979）：The non-Euclidean symmetry of Escher’s picture “Circle Limit III”，Leonardo 12: 19–25
- D. Schattschneider（2010）：The Mathematical Side of M. C. Escher，Notices of the AMS 57(6): 706–718
- H. S. M. Coxeter（1957）：Crystal symmetry and its generalizations，Trans. Royal Society of Canada III 51: 1–13（AMS Feature Column 的介绍）
- D. Dunham：Hyperbolic symmetry / 圆极限图案的 {p, q}（I、IV 为 {6, 4}，II、III 为 {8, 3}）
- D. W. Henderson, D. Taimiņa（2001）：Crocheting the hyperbolic plane，The Mathematical Intelligencer 23(2): 17–28
- D. Taimiņa：Crocheting Adventures with Hyperbolic Planes（A K Peters 2009；第 2 版 CRC 2018）
- Institute For Figuring：Crochet Coral Reef
- E. Sharon, B. Roman, M. Marder, G.-S. Shin, H. L. Swinney（2002）：Buckling cascades in free sheets，Nature 419: 579
数据
Every tile on the plate is computed for this page: the regular tiling {p, q} is folded into one fundamental triangle by the isometries that the reflections in its sides generate, pixel by pixel. History after the MacTutor History of Mathematics archive (University of St Andrews) and J. Stillwell, Sources of Hyperbolic Geometry (AMS/LMS, 1996). Escher’s Circle Limit prints are described, not shown; they are © The M.C. Escher Company. The patterns on the plate are our own. The crochet recipe is Daina Taimiņa’s (one extra stitch after every n). The plate, the brass pseudosphere and the crocheted sheet are our own model.
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沿这个问题继续
图版 M15球面摊不平球面不能不变形地摊成平面。每一种地图投影都要放弃一些东西：面积、角度、距离，或者直线。
图版 M14只用一种形状，永不重复一块由 8 个风筝形拼成的十三边形，可以铺满整个平面，但无论怎样铺，图案都不会周期性地重复。
