第四个方向
三维有五种正多面体，四维有六种正多胞体，五维以上每一维都只有三种。这件模型用黄铜杆和钢节点搭出它们在三维里的投影，用彩色玻璃显示截面。
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平面国
1884 年，埃德温·艾勃特以「一个正方形」为笔名出版了《平面国》。书里的主人公住在一个平面上，只认得点、线和多边形。一个球来访，穿过他的平面，他看到的是一个圆：出现、变大、再变小，最后消失。
他看到的是球的一串截面。一个三维物体经过二维世界，那里的人只能看到它和平面相交的那一片。
水槽里是同样的事。立方体一个角朝下，慢慢沉进水里。水面是那个平面，它截出的形状先是三角形，到中间变成正六边形，然后又是三角形。如果立方体一个面朝下，截面始终是正方形。
从点到超立方体
一个点沿某个方向拖出一段，得到线段；线段沿垂直的方向拖出同样长，得到正方形；正方形再沿第三个垂直方向拖，得到立方体。每拖一次，顶点数翻倍：1、2、4、8。
书里的球就是这样向正方形解释立方体的。正方形接着往下推：立方体沿第四个方向拖动，应该有 16 个顶点，以 8 个立方体为边界。
这就是四维超立方体，有 16 个顶点、32 条棱、24 个正方形、8 个立方体。1888 年，辛顿在《思想的新纪元》里给它起名 tessaract，后来写作 tesseract。
把它展开
立方体的六个面可以剪开、摊平成一个十字。超立方体的八个立方体也可以「摊平」，只是摊进的是三维空间。
模型上，底下那个立方体不动，相邻的六个立方体各自绕着和它共有的那个正方形转 90°，转动发生在包含第四个方向的平面里；第八个立方体挂在其中一个上，跟着一起转。最后得到一个十字：一列四个，第二个周围再接四个。
萨尔瓦多·达利 1954 年的油画《受难（超立方体）》画的就是这样一个十字。画现藏纽约大都会艺术博物馆，这里只描述，不复制。纸上的立方体展开图可以折回立方体；这个十字只能在四维里折回去。
六种正多胞体
1850 到 1852 年，瑞士数学家施莱夫利写成《多重连续统理论》，证明四维空间里恰好有六种正多胞体。这本书生前只发表了一部分，全文 1901 年才出版。1880 年，美国的斯特林厄姆独立地得到同样的六种，并第一次画出了它们的图。
它们是正五胞体、正八胞体（超立方体）、正十六胞体、正二十四胞体、正一百二十胞体和正六百胞体，名字里的数是「胞」，即边界上三维正多面体的个数。施莱夫利符号 {p, q, r} 表示：胞是 {p, q}，每条棱周围有 r 个胞。
每一种都满足 V − E + F − C = 0（顶点、棱、面、胞）。正二十四胞体是唯一在三维里没有对应物的：它的胞是正八面体，每条棱周围三个。
一个超平面切过去
四维物体穿过我们的空间时，我们能看到的是一串三维截面，就像正方形看到球的一串圆。截面都是凸多面体，形状随位置变化。
超立方体一个顶点在前穿过来：先是一个小正四面体，长大，角被削平，变成截角四面体，正中是正八面体，然后倒过来再走一遍。左边水槽里的立方体，同样角在前，截出的是三角形、六边形、三角形。
模型上，琥珀色玻璃是截面；黄铜杆是还在超平面一侧的部分，蓝钢色的杆已经过去，在另一侧，像沉在水下。
纸板做的截面
艾丽西亚·布尔·斯托特（1860–1940）是数学家乔治·布尔和玛丽·埃佛勒斯·布尔的女儿。她自己摸索出了四维正多胞体的三维截面，并用纸板把它们做成模型。
1900 年，她在阿姆斯特丹皇家科学院的会刊上发表了正一百二十胞体和正六百胞体的成组截面。正一百二十胞体那一组的超平面与一个胞平行，第一个截面就是一个完整的正十二面体。她与格罗宁根的数学家斯豪特合作了二十年左右，1914 年获格罗宁根大学荣誉博士学位。英文的 polytope 一词也是由她引入的。
下方横杆上的八个纸模是我们按同样的办法算出来的：正一百二十胞体，超平面与一个胞平行，依次穿过每一层顶点，直到正中。她的原作今天保存在格罗宁根大学博物馆。
透视：施莱格尔图
另一种看法是投影。把眼睛放在第四个方向上，从一个胞的外面紧挨着看进去，按透视画到三维里：离眼睛近的胞画得大，远的画得小。
眼睛离那个胞足够近时，它变成最外面的框，其余所有的胞都画在它里面，一个也不重叠。这叫施莱格尔图。超立方体的施莱格尔图是大立方体里套一个小立方体，八个面之间各连一个变形的立方体。
正一百二十胞体的施莱格尔图：最外面一个正十二面体，里面挤着其余 119 个。它们在四维里一样大，变小只是因为离眼睛远。
球极投影
六种正多胞体的顶点都在一个三维球面上（四维空间里的单位球面）。把棱换成球面上的大圆弧，再从球面上的一点向外投影，就得到球极投影。
它保持角度，并把圆变成圆：每条棱都变成一段圆弧，每个胞都像一个吹胀的泡泡。包住投影点的那个胞翻到了最外面，正对面的那个落在正中。
投影把投影点附近放大。模型上杆的粗细按同样的比例变化，所以看到的是球面上粗细均匀的杆的真实投影；太远的部分截掉了。
在一个平面里转
三维里的转动绕一根轴。四维里的转动转的是一个平面，与它垂直的另一个平面保持不动。四个坐标轴两两组成六个平面，所以有六种基本的转动。
在含有第四个方向的平面里转动超立方体，它的投影像是在把自己翻过来：里面的小立方体移到外面，外面的转到里面。四维里没有任何东西穿过任何东西，只是投影把远处的画小、近处的画大。
四维里还可以同时在两个互相垂直的平面里转（双旋转）。转速相同时，除了中心以外每一点都转过同样的角度，没有一个点不动。
五维以上只有三种
为什么三维有五种、四维有六种？在四维里，每条棱周围至少要有三个胞，它们的二面角加起来必须小于 360°，才能折成一个封闭的形体。正四面体的二面角是 70.53°，三、四、五个都放得下；立方体 90°、正八面体 109.47°、正十二面体 116.57°，都只能放三个；正二十面体 138.19°，三个就超过了 360°。一共六种。
五维里，围着每个面的是四维的胞。正五胞体的二面角 75.52°，可以放三个或四个；超立方体 90°，三个；正十六胞体和正二十四胞体是 120°，三个正好 360°，铺平了；正一百二十胞体 144°、正六百胞体 164.48°，都放不下。剩下的三种是单纯形、超立方体和正轴体，此后每一维都只有这三种。
施莱夫利把条件写成一个式子：{p, q, r} 存在，当且仅当 sin(π/p)·sin(π/r) > cos(π/q)。等号时是铺满空间的蜂巢，例如立方体堆成的 {4, 3, 4}。
实验台
选一种正多胞体和一种投影，在六个平面中的任意一个里转动它，或者让它停下。正交和透视投影下，移动超平面看截面；球极投影下，杆变成圆弧。
试一试在实验台上选正八胞体，用正交投影从顶点开始移动截面：截面依次是什么形状？为什么正中是正八面体？
模型省略了什么
四维物体放不进三维，模型上的都是投影：杆和节点所在的位置，是顶点和棱投到三维以后的位置，长短和角度在投影里会变形。透视和正交投影里杆是一样粗的，像一件搭起来的模型；球极投影里杆的粗细随放大倍数变化，离投影点太近、放得太大的部分截掉了。截面的玻璃、蓝钢色的「水下」部分是为了看清而加的颜色。水槽里的水只是一层有颜色的薄纱，没有折射。横杆上的纸模是按布尔·斯托特的办法算出来的，不是她原作的复制品。达利的画只描述，没有复制。
容易误解的地方
超立方体的施莱格尔图里，中间的小立方体并不比外面的小，八个胞在四维里一样大，变形只来自投影。在四维里转动时没有东西互相穿过。截面不是投影：截面是超平面和多胞体相交的部分，投影是整个多胞体的影子。《平面国》里来访的是一个球，不是立方体；书里提到立方体，是在讲点、线、正方形、立方体的顶点数。polytope 这个词是霍普 1882 年造的，布尔·斯托特把它引入英文。
资料来源
- E. A. Abbott（A Square）：Flatland: A Romance of Many Dimensions，Seeley & Co.，1884（古登堡计划文本）
- C. H. Hinton：A New Era of Thought，Swan Sonnenschein，1888（扫描本；「Genesis of a Tessaract」一章）
- MacTutor：Ludwig Schläfli（圣安德鲁斯大学数学史档案）
- W. I. Stringham（1880）：Regular figures in n-dimensional space，American Journal of Mathematics 3: 1–14
- MacTutor：Washington Irving Stringham
- MacTutor：Alicia Boole Stott
- A. Boole Stott（1900）：On certain series of sections of the regular four-dimensional hypersolids，Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam 7（T. Phillips 在 AMS Feature Column 的介绍）
- 格罗宁根大学博物馆：Knutselen met dimensies（布尔·斯托特的纸板模型）
- I. Polo-Blanco, J. González-Sánchez（2010）：Four-dimensional polytopes: Alicia Boole Stott’s algorithm，The Mathematical Intelligencer 32(3)
- H. S. M. Coxeter：Regular Polytopes（Methuen 1948；Dover 第 3 版 1973）序言
- 大都会艺术博物馆：Salvador Dalí，Crucifixion (Corpus Hypercubus)，1954，55.5
- MathWorld：Regular Polychoron（施莱夫利条件）
- J. Leys, É. Ghys, A. Alvarez：Dimensions（电影，第 3、4 章讲四维正多胞体）
数据
Every strut, section and card on the model is computed for this page from the exact vertex sets of the six polytopes (circumradius 1), turned by true rotations of four-dimensional space. History after the MacTutor History of Mathematics archive (University of St Andrews), E. A. Abbott’s Flatland (Project Gutenberg), and the University Museum Groningen. Dalí’s Crucifixion (Corpus Hypercubus), 1954, The Metropolitan Museum of Art, is described, not shown. The card sections follow the series Alicia Boole Stott published in 1900; the cards on the rail are our own, computed, not copies of her models.
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沿这个问题继续
图版 M12每两个圆都扣在一起四维空间里的三维球面，可以分成无数个互不相交的圆，每个圆对应普通球面上的一个点。投影到三维，任意两个圆都扣在一起。
图版 M16平行线不止一条欧几里得第五公设换成「过直线外一点有不止一条平行线」，得到的是一个同样自洽的世界：三角形内角和小于 180°，空间向外指数增长。
