一条线填满正方形

一样多的点

1877 年，康托尔证明：线段上的点和正方形里的点可以一一配对，一个不多，一个不少。他在第二年发表了这个结果。

思路是交错数字。线上的点写成小数 t = 0.a₁a₂a₃a₄…，奇数位给横坐标，偶数位给纵坐标：(0.a₁a₃…, 0.a₂a₄…)。反过来也能拼回去。戴德金回信指出，有的数有两种小数写法，这样简单地交错并不完全成立；康托尔随后改正了证明。

他在给戴德金的信里写过一句「我看到了，但我不相信」。这句话常被当作惊讶；数学史家古维亚认为，他担心的是证明有没有漏洞。

这种配对不连续。线上紧挨着的 0.4999 和 0.5000，在正方形里一个靠近顶边，一个在底边上。1879 年，内托证明，线段和正方形之间不存在既一一对应、又连续的映射。

连续地经过每一点

放弃一一对应，只要连续：能不能让一条线经过正方形里的每一点？1890 年，皮亚诺给出了第一个例子。

他把线段分成 9 段，正方形分成 3 × 3 格，第几段对应第几格，相邻的段对应相邻的格；每一格再分成 9 格，一直分下去。他的定义全是三进制数字的运算，论文里没有一幅图。

托盘里的铜丝是第二步：81 格一笔走完，每一步都走到相邻的格子。这样得到的曲线叫空间填充曲线。

希尔伯特的图

第二年，希尔伯特在同一本期刊上发表了一篇两页的短文，配了图。他每次一分为四：线段四等分，正方形分成 2 × 2，四段依次对应四格，相邻的两段对应有公共边的两格。

每一格再一分为四，曲线在里面重复同样的 ∩ 形；第一格和最后一格里的要转向，前后才接得上。然后一直分下去。

第 n 步的铜丝穿过 4ⁿ 个格子的中心。每细分一步，原来每一格里的一小段换成一个小 ∩。

前面的铜杆是线段 [0, 1]，它的颜色和托盘里的格子一一对应：线上哪一段，就是正方形里哪一块。

极限

在边长为 1 的正方形里，第 n 步的铜丝长 2ⁿ − 2⁻ⁿ，每多一步长一倍左右，没有上限。希尔伯特曲线不是哪一根铜丝，而是它们的极限。

同一个 t 的位置却会稳定下来。第 n 步的铜丝离极限处处不超过一个格子的对角线 √2 / 2ⁿ，所以各步一致地收敛，极限 H(t) 是连续的：t 变一点，H(t) 只变一点。

红珠停在 t = 0.3。每细分一步，它移动的距离越来越短，停在 H(0.3) 附近。

有的点经过三次

正方形里任取一点，每一步都能找到包含它的格子。这些格子对应的线段一段套着一段，缩到一个 t，H(t) 就是这一点。所以没有一个点漏掉。

但有的点被经过不止一次。正方形的中心是四个小方格共同的角，曲线经过它三次：t = 1/6、1/2、5/6，写成二进制是 0.0010101…、0.1 和 0.1101010…。

这不是这条曲线的缺陷。按内托的定理，连续地经过正方形每一点的曲线，一定有点被经过多次。

近的还是近的

线上相邻的一小段，落在正方形里是一小块。托盘里亮起的是连续的 64 个格子，它们总挤在一块大约 8 × 8 的地方。

在第 8 步的曲线上量：编号相差 k 的两个格子，相距从不超过 √(6k) 个格子。6 是希尔伯特曲线在这种量法下的确切常数（哈弗科特与范瓦尔德芬，2010）。

反过来不成立。正方形里紧挨着的两个格子，编号可能相差很远：中线两侧的格子，一个在曲线的前半段，一个在后半段。把正方形排成一条线，这种情况总会出现。

Z 序

把横坐标和纵坐标的二进制位交错排列，就得到 Z 序编号，也叫莫顿码。1966 年，IBM 加拿大公司的莫顿为一个地理数据库提出了它。这和康托尔交错数字是同一个想法，只是换成了二进制。

每四格走一个 Z 字，四个小 Z 组成一个大 Z。它算起来极快，但每走完一块就要跳到下一块：右边托盘里，铜丝在这些地方离开盘面，跨过去。最大的一跳几乎横穿整个正方形。

所以 Z 序的极限不是连续曲线。同样连续的 16 个编号，在希尔伯特曲线上总是一小块，在 Z 序里有时分成相隔很远的几块；读数是两边各自最远的两格相距多少。

因为简单，它用得很广。必应地图把地图图块的行号和列号按二进制位交错，得到图块的编号（quadkey）。

一族曲线

1900 年，摩尔把四条希尔伯特曲线首尾连起来，得到一条闭合的曲线：走完一圈，回到起点旁边。

皮亚诺的曲线每次一分为九，按蛇形走。按同样的思路，还可以把正方形分成三角形，或者分成大小不同的块。

龙形曲线来自折纸：把纸带对折，再对折，展开后每个折痕都折成直角。它不填满正方形，但从同一点出发、方向各转 90° 的四条龙形曲线，把方格纸上的格线各走一遍，互不重复（戴维斯与高德纳，1970）。

沿着曲线扫描

把灰度图变成只有黑白两色的点，一种办法是误差扩散：每个点取黑或白，把取整的差额留给下一个点。

按行扫描时，差额总往一个方向推，容易出现条纹。沿希尔伯特曲线走，下一个点总在附近，方向不断改变，差额就分散得更匀（维略与戈梅斯，1991）。

托盘里，红珠沿铜丝走过 4096 格，每过一格就定下黑或白。这里用的是最简单的版本：差额全部传给下一格。

地图和数据库

数据库按一维的顺序存放记录。把二维的位置按空间填充曲线编号，附近的地点大多存在相邻的位置，一次查询只要读几段连续的记录。

托盘里的红框是一次查询。框里的格子在线上分成若干段：两只托盘读出的是这个框的实际段数，希尔伯特曲线通常比 Z 序少。

1994 年，卡迈勒和法卢索斯按希尔伯特编号排列 R 树的节点，称为希尔伯特 R 树。矩阵和图像在内存里也常按 Z 序或希尔伯特顺序分块存放，让相邻的元素存得更近。

球面上的格子

谷歌的 S2 几何库这样给地球表面编号：把球面投到外切立方体的 6 个面上，每个面按希尔伯特曲线一分为四，最多分 30 层。

6 条希尔伯特曲线首尾相接，绕球一周成为一条闭合的曲线；相邻两个面的走向互为镜像，才能接上。每个格子的 64 位编号，就是它的中心在这条曲线上的位置。

第 30 层的格子平均 0.74 平方厘米，边长 6 到 9 毫米，一共约 6.9 × 10¹⁸ 个。为了让格子大小相近，立方体面上的坐标先经过一个二次函数，再投到球面上。