证据如何改变相信

一张平放的桌子

托马斯·贝叶斯是英国的长老会牧师，1761 年 4 月去世。他的朋友理查德·普赖斯在遗稿里找到一篇论文，写信寄给皇家学会，1763 年 12 月 23 日宣读，刊在《哲学汇刊》第 53 卷，题为《机会学说中一个问题的解》。

论文里有一个思想实验：一张水平的方桌，先往上扔一个球 W，它停在桌面任何一处的机会都一样。过它画一条与桌边 AD 平行的线 os。再把球 O 扔 p + q 次，数一数有几次停在 AD 和 os 之间。

问题是：只知道这些次数，W 落在任意两点之间的机会有多大？后人常把这张桌子说成台球桌，原文只说「方桌或平面 ABCD」。模型上的线是一根细铜丝，AD 是左边。

从次数到一条曲线

假设 W 离左边是桌宽的 x。每个 O 落在左侧的机会就是 x。p 个落在左侧、q 个落在右侧，这件事的机会正比于 xᵖ(1 − x)^q。

事先 W 在哪里都同样可能，所以「W 在 x」的可信程度也正比于这个式子。除以它的总面积，就得到一条面积为 1 的曲线，今天叫贝塔分布。贝叶斯问的是：W 落在某两点之间的机会有多大？答案就是这条曲线在两点之间的面积。

桌子后面的针规画的就是这条曲线。81 根针，每一根的高度是那一点上的概率密度，精确计算。黄铜针帽之间是 95% 的面积。球越多，曲线越窄、越高，红色指针是 W 真正的位置。

先验乘以似然

1774 年，25 岁的拉普拉斯在不知道贝叶斯论文的情况下得到了同样的推理，写成一条原则：一个事件可能出自几种原因时，各原因的概率之比，等于各原因下出现这个事件的概率之比。这里默认各种原因事先同样可能。1814 年的《概率的哲学随笔》把它写全了：原因事先不同样可能时，要乘上原因本身的可能性。

今天的写法是：后验 ∝ 先验 × 似然。他拿它算过巴黎 1745 到 1770 年的出生记录：251,527 个男孩，241,945 个女孩。生男孩的机会不超过一半，概率约为 1.15 × 10⁻⁴²。针规上的贝塔曲线，用这些数算出的也是这个数。

先验不必是平的。针规后排的蓝钢针是一个偏向左边的先验，前排是同样这些球之后的后验：它从先验出发，被数据拉向 W 真正的位置。

千分之一

一种病，每 1000 人里有 1 人得。一种检测，病人有 99% 测出阳性，健康的人有 99% 测出阴性。一个人测出阳性，他得病的机会是多少？

钉盘上有 1000 根黄杨木钉，1 根涂了红漆。铜闸走过就是检测，测出阳性的钉升起来。红钉升了起来；健康的 999 根里，约 1% 也升了起来，大约 10 根。

升起来的 11 根里，只有 1 根是红的，约 9%。检测对了 99%，阳性却只有约九分之一的机会是真的，因为健康的人太多：他们中的 1%，比病人的全部还多。1978 年，哈佛医学院几家教学医院的 60 位医生和医学生回答过一道类似的题（千分之一，假阳性率 5%），27 人答 95%，答对约 2% 的只有 11 人。

看面积

换一组好看清的数：10 人里 1 人有病，检测对 9 成。钉盘按面积重排：左边 4 列是 100 个病人，右边 36 列是 900 个健康人。每一块里，测出阳性的钉排在前面，并升起来。

左块升起 90 根，是 10% × 90%；右块升起 90 根，是 90% × 10%。升起来的 180 根里，病人正好占一半：50%。

这就是贝叶斯定理的面积：先验决定每一块有多宽，似然决定块里升起的部分有多高，后验是升起的面积里病人所占的比例。

赔率与似然比

换成赔率，定理变成一步乘法：后验赔率 = 先验赔率 × 似然比。似然比是病人测出阳性的机会，除以健康人测出阳性的机会。

千分之一的病，先验赔率是 1 : 999。阳性的似然比是 99% ÷ 1% = 99。相乘得 99 : 999，约 1 : 10，就是前面的 9%。

再做一次独立的检测，又是阳性，再乘 99：约 9.8 : 1，91%。钉盘上铜闸又走一遍，第一次升起的 11 根里，健康的 10 根各只有 1% 的机会再错一次，都落了下去。这要求两次检测的错误互不相干；同一个原因让人两次都测错时，第二次的分量就小得多。

取对数，乘法就成了加法。二战时图灵在布莱切利园破译密码，把证据的分量记作似然比的以 10 为底的对数，单位叫「班」，十分之一班叫「分班」。一次似然比为 99 的阳性，约 20 分班。

一个接一个

证据可以一份一份地来。每落下一颗球，曲线就更新一次：这一次的后验，就是下一次的先验。

先看 10 颗再看 10 颗，和一次看 20 颗，结果完全一样，顺序也无关。只要证据之间互不相干，怎样分批都会到同一个地方。

桌子上的球一颗一颗滚进来，每停下一颗，针规就跟着动一次。

先验不同，殊途同归

甲认为 W 在哪里都可能；乙先入为主，认为 W 多半在右边，后排蓝钢针是他的曲线。两人看同样的球，各自更新。

开始时两条曲线相差很远。几百颗球之后，它们几乎重合，都落在 W 真正的位置附近。证据越多，先验的分量越小。

只有一个例外：如果有人事先认定某种可能的概率是 0，再多证据也改变不了，因为 0 乘以任何似然还是 0。

概率是一堆沙

要找沉在海底的一样东西。海图分成方格，每一格上堆的沙子，就是东西在那一格的概率，沙子一共是一份。

在一格里搜，如果东西在那里，这一次能发现它的机会是 d。搜了没找到，这一格只剩 p(1 − d)，其余每一格都乘上 1 / (1 − p·d)。沙子的总量不变，只是从搜过的地方流向还没搜过的地方。

铜铲每次去 p·d 最大的那一格。每格搜一次的代价相同时，这样搜平均用的次数最少，这是布莱克韦尔的结果，1965 年布莱克给出了证明。没找到，那里的沙子降下去，别处都升起一点；找到了，插上一根红头针。

天蝎号

1968 年 5 月，美国核潜艇天蝎号在亚速尔群岛西南的大西洋上失踪，艇上 99 人全部遇难。残骸在三千米以下的海底。

分析员拿到九种关于失事经过的场景，每种都有一个可信度的权重。他们用随机模拟算出每种场景下潜艇会落在哪里，按权重合起来，就是一张先验图：每一格一个概率。

搜索船米扎尔号拖着相机和声呐一格一格地找。每搜过一格没有发现，就算出这次搜索在那一格的发现概率，更新这张图。1968 年 10 月底找到了残骸，离先验概率最高的那一格不到 260 码。模型上的先验是示意的形状：一条可能的航线，加上两种别的情形。

法航 447

2009 年 6 月 1 日，法航 447 航班从里约热内卢飞往巴黎，坠入大西洋，机上 228 人。最后已知位置周围 40 海里的圆里，两年间搜了四次：海面搜寻、监听水下信标、两次侧扫声呐，都没有找到残骸。

2010 年，法国事故调查局请美国一家分析公司重新算。先验由三部分组成：圆内均匀 35%，以最后已知位置为中心、标准差 8 海里的正态分布 35%（以往失控坠机的落点），遇难者遗体漂流倒推 30%。每一次没有找到都当作证据：监听的发现概率合计 0.77，声呐 0.9。

如果两个信标都没有工作，2009 年的监听本来就不可能听到。把监听去掉重算，最后已知位置附近的概率又高了起来。2011 年的搜索从那里开始，约一周后，4 月 2 日在声呐数据里看到了残骸，3 日拍到照片：在最后已知位置北偏东 19° 约 6.5 海里，水深 3900 米。