每个圈上都有长方形

圈上的正方形

在平面上画一条闭合的线，不与自己相交。线上能不能找到四个点，正好是一个正方形的四个顶点？

1911 年，Toeplitz 在瑞士自然科学学会的年会上提出这个问题，并说他只对凸曲线找到了证明。这个证明没有发表。

1913 年，Emch 证明了光滑的凸曲线都有内接正方形；1929 年，Schnirelman 证明了足够光滑的曲线都有。对任意连续的闭合曲线，这个问题至今没有解决。

石板上的铜丝圈有三个内接正方形。正方形不必整个落在圈里，四个顶点在线上就算。

退一步：长方形

把正方形换成长方形，不规定长宽比，问题就有了答案：任何一条不自交的闭合曲线上，都有四个点构成长方形。

这个证明属于 Vaughan。据 Meyerson 记载，他在 1977 年前后的一次讲座中给出，1981 年由 Meyerson 写进论文发表。证明只用到曲线连续，不需要光滑。

同一条曲线上的长方形不止一个。红线围出的长方形沿着铜丝滑动，长宽比一路在变，四个角始终在线上。

两条对角线

长方形的两条对角线一样长，并且在中点互相平分。反过来，两条线段只要中点相同、长度相等，四个端点就是一个长方形的顶点。

所以要找的是线上的两对点。每对点连成一条弦，两条弦的中点重合、长度相等。

每一对点对应两样东西：弦的中点在平面上的位置，和弦的长度。问题变成：有没有两对不同的点，这两样完全相同。

把每一对点举起来

对线上的每一对点，在弦的中点上方竖一根杆，杆高是弦长的一半，杆顶放一颗珠。

所有点对的珠子铺成一张曲面。两点重合时弦长为 0，所以曲面的边正好落在铜丝圈上。

固定一个点，让另一个点绕圈走一周，珠子画出一道拱：拱的投影是把整个圈朝这个点缩小一半。模型上的 40 根细铜丝，是线上 40 个点各自的拱。

两对不同的点如果落到同一颗珠上，就得到一个长方形。

曲面穿过自己

换个说法：长方形就是这张曲面穿过自己的地方。红线标出曲面自交的位置，线上的每一点同时属于两对点。

珠子沿红线移动，四根线拉到铜丝上的四个点，始终是一个长方形。两条对角线的夹角一路在变。

剩下的问题是：曲面为什么一定会穿过自己。

点对是一条莫比乌斯带

有序的点对 (s, t) 铺成一个正方形，s 和 t 各绕曲线一周。曲线首尾相接，所以 0 和 1 是同一个点。

(s, t) 和 (t, s) 是同一对点。沿对角线对折，只留下一半，是一个三角形。对角线上 s = t，两点重合，这条边对应曲面的边。

三角形的两条直角边也是同一批点对：{0, e} 和 {e, 1}。沿另一条对角线剪开，翻过一半，把这两条边缝在一起，得到一块方布。还没接上的两条边方向相反。

扭半圈再接上，就是莫比乌斯带。所以全部无序点对组成一条莫比乌斯带，它的边是一整条曲线。把这条边缝到铜丝上，布正好盖住那张曲面。

为什么一定穿过

如果曲面不穿过自己，这条莫比乌斯带就完好地待在石板上方的半个空间里，边落在铜丝圈上。

再把圈围住的那块平面补上：莫比乌斯带加一个圆盘，是一个没有边的封闭曲面，叫射影平面。

射影平面放进三维空间，一定会穿过自己。所以莫比乌斯带必须穿过自己：有两对不同的点，弦的中点相同、长度相同，它们是一个长方形的两条对角线。

这就是 Vaughan 的证明。也可以把带子和它在石板中的倒影接起来，得到一个克莱因瓶，它同样不能不自交地放进空间。

每一种长宽比

Vaughan 的证明只保证有长方形，不管它是什么形状。能不能指定长宽比，比如 2 比 1？

2020 年，Greene 和 Lobb 证明：对任何光滑的闭合曲线和任何长方形，曲线上都有四个点构成与它相似的长方形。证明借助 Shevchishin 的一个定理：克莱因瓶不能作为拉格朗日曲面光滑地嵌入 C²。

在此之前，Hugelmeyer 证明了长宽比为 √3 的情形（2018），以及至少三分之一的长宽比（2019）。

模型上，长方形依次停在对角线夹角 15°、30°、45°、60°、75°、90° 处，长宽比等于夹角一半的正切。对不光滑的连续曲线，指定长宽比的问题仍然开放。

还没解决的正方形

正方形是对角线互相垂直的长方形。红线上夹角到达 90° 的地方，就是内接正方形。这条铜丝圈上有三个。

一般的光滑曲线，内接正方形的个数是奇数。把椭圆连续地变成这条曲线，正方形只会成对地出现或消失；椭圆恰好有一个。奇数不是 0，所以光滑曲线一定有内接正方形。

难处在处处弯折的连续曲线。用光滑曲线去逼近它，找到的正方形可能越缩越小，最后缩成一个点，就不再是正方形。

已经证明的还有分段解析的曲线（Emch，1916）和局部单调的曲线（Stromquist，1989）等。Toeplitz 的原问题仍然开放。