量子霍尔效应

测不出的差别

2011 年，英国国家物理实验室把石墨烯样品和砷化镓样品的量子霍尔电阻直接相比，两者测不出差别，测量的相对标准不确定度是 8.6 × 10⁻¹¹。2015 年，法国国家计量与测试实验室经一个 100 欧电阻间接比较，不确定度为 8.2 × 10⁻¹¹。石墨烯里的电子像没有质量的粒子，和砷化镓这种半导体里的电子很不一样。

1991 年，砷化镓与硅器件之间的比较，在 3.5 × 10⁻¹⁰ 的不确定度内也没有测出差别。现在各国计量院用它复现电阻，通常准到 10⁻⁹ 或更好。2025 年，德国联邦物理技术研究院的石墨烯标准第一次参加国际计量局的关键比对，与国际计量局的砷化镓标准直接相比，相差 −0.5 × 10⁻⁹，不确定度 0.8 × 10⁻⁹。

石墨烯 − 砷化镓：(+4.7 ± 8.6) × 10⁻¹¹（2011）· (−0.9 ± 8.2) × 10⁻¹¹（2015）

侧面的电压

电流沿一条导体流过，再加一个与它垂直的磁场，运动的电子就被推向一侧。一侧电子多了，另一侧少了，两边之间出现电压，直到它的推力和磁场的推力抵消。这叫霍尔效应，1879 年由 Edwin Hall 发现。

这个电压除以电流，叫霍尔电阻。在普通的导体里，它和磁场成正比，和电子的面密度成反比：R = B/(ne)。所以霍尔效应常用来测磁场，或者数一数材料里有多少载流子。

R_xy = B/(ne) · 本页的砷化镓样品：n = 5.1 × 10¹¹ 每平方厘米

一层电子

量子霍尔效应要一层只能在平面里运动的电子。把砷化镓和铝镓砷两种晶体一层层长在一起，电子会聚到两者的界面上，挤在很薄的一层里，上下动不了，只能在平面里走。这叫二维电子气。

1980 年最早的实验，用的是硅场效应晶体管里的二维电子气。计量标准后来多用砷化镓异质结：例如英法两国比较用过的样品，面密度约 5 × 10¹¹ 每平方厘米，迁移率约 3 × 10⁵ 到 5 × 10⁵ 平方厘米每伏秒。现在又多了碳化硅上长出的单层石墨烯。

铝镓砷 / 二维电子气 / 砷化镓 · 图中各层的厚度大大放大了

朗道能级

磁场让运动的电子转圈，转得多快只看磁场和电子的质量：ω = eB/m*。砷化镓里，电子的有效质量约为自由电子的 0.067 倍；10 特斯拉下，每秒约转 4.2 万亿圈。

量子力学只允许某些转法，能量一级一级分开，间隔 ħω：10 特斯拉下约 17 毫电子伏，相当于 200 开的热运动。每一级、每个自旋方向能装的电子数也是定的：每平方米 eB/h 个，与电子的有效质量无关。这些能级叫朗道能级。

Eₙ = ħω (n + ½) · 每级每个自旋 eB/h · 10 特斯拉：2.42 × 10¹¹ 每平方厘米 · 轨道放大了约 25 万倍

台阶

磁场越强，每一级能装的电子越多，填满的能级就越少。填满了几级，用填充因子数：ν = nh/(eB)。实验里，霍尔电阻却不沿直线上升，而是在 ν 接近整数的地方停成台阶：台阶上 R = h/(νe²)，ν 取那个整数。在台阶上，沿电流方向的电阻 R_xx 降到零。

1980 年 2 月 5 日凌晨，Klaus von Klitzing 在法国格勒诺布尔的强磁场实验室里测硅晶体管，发现台阶上的霍尔电阻就是 h/e² 除以一个整数。它只由基本常数决定，与器件的形状无关；他测得 h/4e² = 6453.17 ± 0.02 欧，不确定度约百万分之三。台阶在 1978 年他和 Th. Englert 的一条曲线里就出现过，那篇论文没有提到它们。1985 年，他获得诺贝尔物理学奖。

R_xy = h/(νe²) · ν = 2：12 906.403 7 欧 · 曲线由本页的模型算出

单行的边

台阶为什么这么平？在台阶上，磁场再变，多出来或少掉的电子只落进杂质周围被困住的状态，原地打转，不导电；能导电的那些状态不变，霍尔电阻也就不变。沿着边缘的电子却能一路走下去：撞到边界，弹回，再转，一跳一跳地前进。同一条边上都朝一个方向，对面的边朝反方向。

电子遇到杂质，也没法掉头，因为这条边上没有往回走的通道；它只能绕过去。所以电流沿样品流过时不损耗能量（热只在电流进出的接点处产生），R_xx 为零，霍尔电阻只由边上的通道数决定，与杂质、形状无关。1982 年 Bertrand Halperin 指出了这种沿边的状态，1988 年 Markus Büttiker 用它解释了多端样品里的量子霍尔效应。

每条边 ν 条单向通道（这里 ν = 2）· 图中的轨道放大了约 25 万倍

不会走样的整数

1982 年，David Thouless 和同事算出：晶格里的二维电子，只要费米能级落在能隙里，霍尔电导就是 e²/h 的整数倍。后来的工作把这个整数认作一个拓扑不变量，叫陈数：只要能隙不合上，样品怎么连续地变，它都不变；要变只能整数地跳，所以杂质和形状改不了它。每填满一个朗道能级，它加 1。

2016 年诺贝尔奖的科学背景称，整数量子霍尔效应是第一个被发现的拓扑量子液体。这一年的诺贝尔物理学奖授予 Thouless、F. Duncan M. Haldane 和 J. Michael Kosterlitz，表彰他们在拓扑相变和物质拓扑相方面的理论发现。后来又找到不靠外磁场的同类物态：2024 年的一项实验在约 34 毫开下，测得它与 h/e² 之差为 (4.4 ± 8.7) × 10⁻⁹。冷到这么低，要用稀释制冷机，见图版“稀释制冷机”。

σ_xy = C · e²/h · 每填满一级，C 加 1

三分之一

1981 年 10 月，崔琦、Horst Störmer 和 Arthur Gossard 在更干净的砷化镓样品里，把温度降到 1 开以下、磁场加到约 15 特斯拉，看到一个新台阶：霍尔电阻是 3h/e²，最低的能级只填了三分之一。在 0.42 开时，它与 3h/e² 相差不到 1%。

单个电子转圈解释不了它。1983 年，Robert Laughlin 提出，电子一起凝成一种新的量子液体，其中的激发带着分数电荷，比如 e/3。1998 年，诺贝尔物理学奖授予 Laughlin、Störmer 和崔琦。分数台阶要更低的温度和更干净的样品；计量标准用的是整数台阶 ν = 2。

ν = 1/3 · R_xy = 3h/e² · 准到 1% 以内（0.42 开，1982）

剖开：恒温器

最外面是不锈钢的真空罐，隔开空气的传热；往里一层铝屏蔽，裹着多层镀铝薄膜，挡住热辐射；再往里是装液氦的容器。超导磁体泡在液氦里，由三根杆挂在顶板下面，两根铜引线把电流送进去。

样品杆从顶板中央插下去，末端的样品室正好落在磁场中央，用真空泵抽气还能再降温。国际计量局带去各国比对的可搬运系统，也是一台液氦恒温器，配 11.3 特斯拉的超导磁体，样品室冷到 1.4 开。

国际计量局的可搬运系统：11.3 特斯拉，1.4 开 · 图中恒温器的高度压缩了约一半

十特斯拉

砷化镓样品要在约 10 特斯拉下才停在 ν = 2 的台阶上，这是地球磁场的十几万到几十万倍。这样的磁场来自一个超导线绕成的螺线管：线圈泡在液氦里，没有电阻，大电流在里面流也不发热。

在螺线管中段，磁场又强又均匀，往两端渐渐变弱。样品就放在正中。图上的曲线是按这个线圈的尺寸算出的轴上磁场。德国联邦物理技术研究院 2025 年比对时用的磁体，最高 12 特斯拉。

轴上磁场（按图中线圈的尺寸计算）· 样品在中心

砷化镓与石墨烯

样品是一块芯片，上面刻出一条带侧臂的霍尔条，宽零点几毫米：电流从两端流过，侧臂上量电压。砷化镓样品在约 1.4 开、10 特斯拉下给出 ν = 2 的台阶，测量电流一般只有几十微安。

计量用的石墨烯是一层碳原子，长在碳化硅晶片上。它的朗道能级间隔大得多：10 特斯拉下，砷化镓约 17 毫电子伏，石墨烯零能级和上面一级之间约 115 毫电子伏。所以石墨烯标准在 5 特斯拉、4.2 开就能用，电流能大十倍以上，也能放进不用液氦的小型制冷机里。

砷化镓 ħω ≈ 1.7 · B 毫电子伏 · 石墨烯 E₁ ≈ 36 · √B 毫电子伏（B 以特斯拉计）

数匝数的电桥

ν = 2 时，量子霍尔电阻约 12 906.4 欧，日常用的却是 1 欧、100 欧这样的整数值。把它传过去，靠低温电流比较仪：两组线圈装在一个超导的环形屏蔽罩里，一组 N₁ 匝、通电流 I₁，另一组 N₂ 匝、通 I₂。超导体把磁通挡在外面，罩外剩下的磁场只取决于 N₁I₁ − N₂I₂，与导线在里面怎么摆无关。一个超导量子干涉器件盯着它，调到零。

这时电流比就等于匝数比，精心做好的比较仪，误差小于 10⁻¹⁰。两个电流分别流过量子霍尔电阻和一个 100 欧的标准电阻，比较两边的电压，电阻比就由匝数比定下来。例如 2065 匝对 16 匝，比值 129.0625，与 12 906.4037 ÷ 100 只差约 1.2 × 10⁻⁵，这点差由电桥量出。

N₁I₁ = N₂I₂ · 2065 : 16 = 129.0625

1 欧姆从哪里来

1990 年起，各国约定用 R_K-90 = 25 812.807 欧换算量子霍尔电阻。2019 年 5 月 20 日起，国际单位制把普朗克常数 h 和元电荷 e 定为精确值，复现欧姆时取 R_K = h/e² = 25 812.807 459 3… 欧。它比旧的约定值大 1.78 × 10⁻⁸：同一个电阻，从那天起读数大了这么一点。秒的定义也在准备更新，见图版“光晶格钟”。

计量院先用量子霍尔电阻校准一组 100 欧的标准电阻，再从它们推到 1 欧到 1 兆欧，再用来校准别处的电阻。国际计量局从 1993 年起带着自己的可搬运标准去各国现场比对：现场比的是同一个 100 欧电阻，用两边的量子霍尔标准各校一次。

R_K = h/e² = 25 812.807 459 3… 欧（2019 年起）· 比 R_K-90 大 1.78 × 10⁻⁸

拆开来看

恒温器的外罐、屏蔽层、液氦容器、磁体、顶板和样品杆，比较仪的杜瓦瓶和探杆，磁体电源和电桥，标准电阻，记录仪，还有放大的霍尔条，一件件分开。

停在哪一件上，那一件就被单独托出来，其余的变淡；不动时，各件都标出名字。