差分机

表里的错

十九世纪初，算对数、三角函数、天文位置都要查印好的数表。数学家、航海者、工程师、测量员和银行家都用它们。表是一群人手算的，再经过抄写、排字和印刷，每一步都可能出错。

1821 年，巴贝奇和朋友赫歇尔核对一份手算的天文表，错处多得让他说：「真希望这些计算是用蒸汽完成的。」他后来说，表里的错让政府损失了两三百万英镑，还让船只搁浅。

只用加法

多项式有一个性质：依次相减，n 次多项式的第 n 阶差是常数。以 x² + x + 41 为例，相邻两个值相差 2、4、6、8……，这些差再相减，处处是 2。

反过来，只要知道开头的值和各阶差，后面的整张表都能用加法得到：把 2 加到一阶差上，再把一阶差加到值上。不用乘，也不用除。机器只需要会做加法。

x² + x + 41 的差分表：二阶差都是 2，往下每一行只用两次加法

八列数字轮

一个数是一列 31 个青铜数字轮，个位在最下面。每个轮子 40 个齿，筒身上刻着四遍 0 到 9，转过一个齿就是加 1。轮子前面有刻线指着当前的数字。

一共八列：最左边是结果，右边依次是一阶到七阶差。所以它能算到七次多项式，每个数 31 位。次数低的多项式，用不到的列都放 0。

两拍一个结果

每一次加法，右边一列的轮子往回转到 0，左边一列的轮子就往前转同样多格，这叫「给出」；给出的数随后再还原回去。轮子之间的扇形齿轮把转动传过去。

机器不是一列一列地往左加。一个循环分两拍：前半拍，七、五、三、一阶差同时加到左边的列上；后半拍，六、四、二阶差同时加到左边。开头的数要按这个节奏错开摆好。前半拍一结束，结果列上就是新的值。

这一切由右边的曲柄带动。曲柄带一个 14 齿的小齿轮推动 56 齿的大齿轮，转四圈是一个循环；一摞 28 片凸轮按节拍抬起、转动、推动各列的轴。

进位

一个轮子在给出时从 9 转到 0，它不马上进位，而是顶开旁边一根进位杆，记下「欠一位」。

等加法做完，每列后面那根进位轴转起来。轴上 30 根进位臂排成螺旋，每根差 22.5°，从下往上依次扫过各个进位杆：被顶开的杆，把上面的轮子推前一个齿。如果这一推又让它从 9 变成 0，再上面一根杆被顶开，下一根臂接着处理。进位轴转两圈，一串连续的进位也能一路传到顶。

直接印出来

结果列的数经过一组齿条和竖轴传到左边的输出装置。它每个循环在纸卷上印一行带墨的结果，同时用打孔轮把数字压进托盘里的软材料（例如湿石膏），做成铸版的模子。

印和压只取结果的低 30 位。行距、列数、页边都能预先设定，一页满了机器自己停下。从算到出版，中间没有人抄写，也没有人排字。

拆开来看

上半部是八列数字轮，列与列之间是扇形齿轮的轴，后面是带螺旋进位臂的进位轴。下半部是抬起和转动这些轴的拉杆、齿条和曲柄杆。

右边是控制部分：凸轮组、大小齿轮和曲柄。左边是输出装置：纸卷、墨辊、30 个印字轮，下面是铸版托盘和带动托盘的落锤。整台机器约 8000 个零件，计算和输出各占一半。

一百五十年后造出来

巴贝奇 1822 年发表了差分机的设想，英国政府出资，由工匠克莱门特制造一号差分机。1832 年装好了一段，约 2000 个零件，是整机计算部分的七分之一，巴贝奇拿它做演示。1833 年双方纠纷，工程停下，财政部一共花了 17500 英镑。

1847 到 1849 年，巴贝奇画出二号差分机：零件只要一号的三分之一，算得却一样多。1852 年他把图纸献给政府，没有被接受。1985 年起，伦敦科学博物馆照原图建造：计算部分 1991 年完成，正赶上巴贝奇诞辰两百年；打印和铸版装置 2002 年完成。整机重约 5 吨，长 3.4 米，高 2.1 米。第二台为私人收藏者制造，2008 到 2016 年在美国计算机历史博物馆展出演示。

他在世时，瑞典的舍茨父子按差分的思路造出了能用的机器：1843 年做出样机，1853 年完成金属的一台；1859 年伦敦的唐金公司为英国政府造了一台，用来算 1864 年的英格兰生命表。

它改变了什么

二号差分机证明巴贝奇的设计是可行的：照十九世纪工场能达到的精度做出来，它能算，而且算得对。建造时发现图纸上进位警示的布置有一处错，照图做会卡住；建造者把奇数列的机构做成镜像，问题就解决了，设计本身不受影响。所以真机上奇数列和偶数列的数字刻的方向相反。

它把「算」变成了一个确定的机械过程：数是轮子的位置，加法是转动，进位有自己的时段。每个轮子都被锁在整数位置上，停在两个数之间的轮子会让机器卡住，而不是给出错数。巴贝奇说，有了这些安全装置，机器可能坏、可能卡，但不会骗人。设计它之前，他已经构想了更通用的分析机。