贝尔检验

超过 2

贝尔检验把实验结果算成一个数 S。如果世界是“局域实在”的，也就是每个粒子事先带着自己的答案，远处做什么也影响不到这里，S 的绝对值就不会超过 2。量子力学预言它最高可到 2√2，约 2.83。

1982 年，Alain Aspect 的组在法国奥赛测得 S = 2.697 ± 0.015，量子力学对这台装置的预言是 2.70 ± 0.05。1998 年，因斯布鲁克的两个观测站相距 400 米，测得 S = 2.73 ± 0.02，超出 2 达 30 个标准差。

局域模型 |S| ≤ 2 · 量子力学 2√2 ≈ 2.83 · 1982 年 2.697 ± 0.015

1.3 公里

2015 年，荷兰代尔夫特的实验把两个电子自旋放在相距 1.3 公里的两处，各囚在金刚石的一个缺陷（NV 色心）里。光从一处到另一处要 4.27 微秒；随机选测量方向、读出结果，都在这之前做完，以光速传的信号也来不及影响另一边。

每次试验都读得出结果，没有挑选。245 次试验测得 S = 2.42 ± 0.20；局域模型给出这么大违反的概率不超过 3.9%。这是第一次同时堵住“局域”和“探测”两个漏洞。同年，维也纳和美国 NIST 用光子和高效探测器也做到了，统计上强得多。

1,280 米 · 光走 4.27 微秒 · 245 次 · S = 2.42 ± 0.20（代尔夫特，2015）

成对的光子

一对纠缠的光子从同一块晶体里出来，各奔一个分析站。分析器可以转到任意角度；光子要么从“+”口出来，要么从“−”口出来。

只看一边，结果完全随机，一半一半，另一边怎么转都一样。两边的记录放在一起比，才看出关系：两台分析器角度相同，结果总是相同；相差 θ，结果相同的比例是 cos²θ；相差 90 度，总是相反。

相同的比例 = cos²(a − b) · 只看一边：各 50%

CHSH 不等式

1964 年，John Bell 证明，任何局域的隐变量理论都给这种关联设了上限。1969 年，Clauser、Horne、Shimony 和 Holt 把它写成实验能测的形式：每边有两个角度，a 和 a′、b 和 b′，测出四种组合的关联 E，算 S = E(a,b) − E(a,b′) + E(a′,b) + E(a′,b′)。

如果每对光子事先就带着对每个角度的答案（+1 或 −1），无论答案怎么配，每一对算出来都只能是 +2 或 −2，平均起来绝对值不超过 2。量子力学在 0°、45° 和 22.5°、67.5° 这组角度上给出 2√2。1980 年，Boris Tsirelson 证明量子力学到不了比这更大的值。

S = E(a,b) − E(a,b′) + E(a′,b) + E(a′,b′) · a 0°，a′ 45°，b 22.5°，b′ 67.5°

最好的局域模型

能不能用事先带好的答案模仿量子力学？一个简单的模型：每对光子出发时共带一个随机的“隐藏偏振方向”，每台分析器只看它和自己的角度，哪个口离它近，光子就从哪个口出来。

这个模型只看一边也是一半一半；角度相同或相差 90 度时，也和量子力学一样。中间就不同了：它的关联随角度直线下降，量子力学是余弦。在 CHSH 那组角度上，它正好得到 2，局域模型最多也就到这里；量子力学是 2.83。

局域：E = 1 − 4θ/180° · 量子：E = cos 2θ · 两个都是本页一对对抽样数出来的

剖开：光学平台

平台后部是 405 纳米的紫光激光器，一面反射镜、一片透镜把光聚到 BBO 晶体上。晶体后面是两块补偿晶体，两面小镜子从紫光两侧拾出成对的光子，送进光纤；剩下的紫光打进吸收器。

光纤绕在两个线盘上，通到左右两个分析站。每站依次是准直器、普克尔盒、电动旋转台里的半波片、偏振分束立方体，和“+”“−”两个单光子探测器。四路电缆接到前面的符合计数器。剖开的是两站的光路。

左为 A 站，右为 B 站 · 两站在一块平台上是示意：实验里相距几米到一千多米

一分为二

有些晶体对光的响应不是线性的。在 BBO（偏硼酸钡）晶体里，偶尔有一个 405 纳米的紫光光子分成两个 810 纳米的红外光子，能量和动量都守恒，这叫自发参量下转换。绝大多数紫光光子直接穿过去。

在第二类下转换里，两个光子沿两个圆锥射出：一个锥上的光偏振水平，另一个竖直。两个锥在左右两处相交，从交点出来的一对，说不清哪个水平、哪个竖直，只知道两个相反，这就是纠缠。1995 年，因斯布鲁克的 Kwiat、Zeilinger 等人用这种光源，每秒得到一千五百多对。

405 纳米 → 810 + 810 纳米 · 实际两个交点相隔约 6°，图中画大了

随机选角度

半波片转过 θ，光的偏振就转过 2θ；后面的偏振分束立方体让一个方向的偏振透过，把与它垂直的反射出去。所以分析器的角度是半波片角度的两倍。

要排除两边事先串通，角度必须在光子飞行途中才定，而且定得随机。1982 年 Aspect 的组用声光开关，约每 10 纳秒在两个方向间切换；两个开关相距 12 米，光走 40 纳秒。不过切换是准周期的，不是真随机。1998 年的因斯布鲁克实验改用物理随机数发生器和电光调制器。

半波片 θ → 偏振 2θ · 1982 年：约 10 纳秒切换，相距 12 米 · 1998 年：400 米，随机数

数出符合

每个出口后面是一个单光子探测器：进来一个光子，出去一个电脉冲。符合计数器给每个脉冲记下时刻，两边相差不过几纳秒的算作同一对，按 ++、+−、−+、−− 分别计数。关联 E = (N++ + N−− − N+− − N−+) / N。

探测器漏掉的光子是个漏洞：只记下一部分时，局域模型可以“挑着”被记下。最大纠缠态要求总效率超过 82.8%；Eberhard 1993 年证明，用纠缠弱一些的态，门槛可以降低，极限是三分之二。2001 年，囚禁离子的实验第一次堵上这个漏洞。2015 年，维也纳的超导转变边沿探测器总效率约 78.6% 和 76.2%，NIST 的超导纳米线约 75%。

E = (N₊₊ + N₋₋ − N₊₋ − N₋₊) / N · 效率门槛 82.8%，极限 2⁄3

五十年

1972 年，Stuart Freedman 和 John Clauser 用钙原子发出的光子对做了第一个这样的检验，记了约 200 小时，结果违反局域实在的不等式，与量子力学相符。1982 年，Aspect 的实验测得更准，并第一次在光子飞行途中切换角度。

Anton Zeilinger 的组用纠缠做出了新东西：1997 年的量子隐形传态，把一个光子的偏振态传到另一个光子上；1998 年的纠缠交换，让两个从未相遇的光子纠缠起来。2022 年诺贝尔物理学奖由 Aspect、Clauser 和 Zeilinger 平分，表彰他们“用纠缠光子做的实验，确立了贝尔不等式的违反，开创了量子信息科学”。量子比特怎么造，见图版“超导量子比特与纠错”。

1964 贝尔 · 1972 · 1982 · 1997–98 · 2015 · 2022 诺贝尔奖

拆开来看

泵浦激光器、光学元件、BBO 晶体、耦合器、光纤盘、两站的普克尔盒、半波片、分束立方体、探测器、随机数发生器和符合计数器，一件件分开。

指针停在哪件上，它就被单独托出来，其余的变淡；不动时，各件都标出名字。