自感与涡流

在铜管里慢慢落

2006 年发表的一个演示：一根 1.7 米长的竖直铜管，一块 6 克重的钕磁铁，直径约 1.3 厘⁠米。磁铁从管口放下，22.9 秒后才从下面出来；一个不带磁的东西，同样的高度不到 1 秒就落完了。

铜不是磁性材料，磁铁吸不住它。磁铁静静放在铜上，什么力也没有。力只在磁铁动的时候出现：它一动，铜管里就有电流绕着管壁转，这些电流的磁场拖住磁铁。

下落很快变成匀速。磁铁一路失去的重力势能，全部变成了铜管里的热。

2006 年的演示 · 铜管 1.7 米 · 一块磁铁 22.9 秒 · 自由下落 0.59 秒（本页计算）

只在变化的那一刻

1831 年 8 月 29 日，法拉第在一只外径 6 英⁠寸（约 15 厘⁠米）的软铁环上绕了两组线圈，一组接电池，一组接检流计。

接通电池的一瞬间，检流计的指针一跳；电流一直通着，指针回到零；断开时，指针朝另一边跳。电池的电流一直持续，指针并不偏转。

今天的说法是：穿过线圈的磁通在变，线圈里就有电动势，ε = −N dΦ/dt。变得越快，电动势越大；磁通不变，就什么也没有。

1831 年 8 月 29 日 · 软铁环外径 6 英⁠寸 · ε = −N dΦ/dt

总是反着来

1833 年 11 月，楞次在圣彼得堡科学院宣读了一条规则，次年发表：导体在磁铁或电流旁边运动时，里面产生的电流，方向正好会让导体受到与这个运动相反的力。

今天常说成：感应电流的磁场反对的是磁通的变化。磁通在增大，它就削弱；磁通在减小，它就补上。它反对的是变化，不是磁场本身。

在铜管里，磁铁下面那段管壁的磁通在增大，电流的磁场把磁铁往上推；上面那段的磁通在减小，电流反着转，把磁铁往回拉。前面推，后面拉，磁铁就慢了下来。

楞次 1834 · 前面推，后面拉 · 两圈电流方向相反

线圈和自己较劲

1832 年，亨利发现：用一英尺长的短导线接电池，断开时没有火花；换成三四十英尺长的导线，断开时冒出明亮的火花，绕成线圈更亮。

线圈里的电流一变，它自己的磁通也跟着变，于是在自己身上感应出一个反方向的电动势：

ε = −L dI/dt

这叫自感，L 是电感，单位是亨利。它反对的也是电流的变化，不是电流本身。

所以接通一个线圈，电流不是一下子到位，而是慢慢爬上去，快慢由 L/R 决定。一个 900 匝、24 毫⁠亨、6 欧的教学线圈，L/R 是 4 毫⁠秒；套上闭合的铁芯，电感大得多，爬得也慢得多。

ε = −L dI/dt · 900 匝 · 24 毫⁠亨 · 6 欧 · L/R = 4 毫⁠秒（本页计算）

断开时的火花

1835 年，法拉第报告：用电磁铁的线圈接一对极板的电池，接通时几乎没有火花，断开时火花又大又亮，手握两端还会挨一下电击；往线圈里插软铁棒，效果大增，插铜棒没有变化。他把断开时多出来的这股电流叫作“额外电流”。

线圈里存着磁场的能量，½LI²。开关一断，电流要在极短的时间里降到零，dI/dt 极大，自感电动势也极大，这份能量只能在开关的缝隙里打出火花，或者点亮一只低压电池本来点不亮的氖泡。

继电器的线圈断电时，两端可能冒出几百甚至几千伏的瞬间电压，所以线圈旁边常并一只二极管把它压下去。汽车的点火线圈反过来利用它：断开 12 伏的初级电流，次级能有约 4 万伏，让火花塞打火。

½LI² · 继电器：几百到几千伏 · 点火线圈：12 伏 → 约 4 万伏

看不见的刹车

1824 年，阿拉戈发现：铜盘在磁针下面转，磁针会跟着转；两者相对静止时，什么作用也没有。1831 年，法拉第用感应电流解释了它。

整块金属里也会感应出电流。它们在金属里绕成一个个圈，像水里的漩涡，所以叫涡流；它们的磁场同样反对运动。

1855 年，傅科把陀螺仪的青铜转子放进强电磁铁的两极之间，用手摇曲柄，它每秒能转 150 到 200 圈。电磁铁一通电，几秒内转子就停了，好像有一只看不见的刹车。他接着硬摇，转子从室温 16 °C 热到 34 °C，手摸得出来：摇曲柄的功变成了热。

阿拉戈 1824 · 法拉第 1831 · 傅科 1855：16 °C → 34 °C

切断它们的路

涡流要绕成圈才流得动，把路切断，它就弱了。一块整铜板在电磁铁两极之间摆动，很快就停；换成开了一排梳齿缝的铜板，能多摆很久。这种摆叫瓦尔滕霍芬摆，1900 年 Max Kohl 公司的仪器目录里就有。

台上那根开了一条长缝的铜管也是这样：管壁上的环被切开了，电流转不成整圈，磁铁落得比在整根铜管里快。亚克力管不导电，磁铁在里面就是自由下落。

把铝环套在通交流电的铁芯线圈上，铝环会被抛起来；开一道缝的铝环就不跳。

梳齿缝 · 长缝 · 开口的环：涡流转不成圈

一片片的铁芯

变压器和电机的铁芯里，磁场每秒变几十次，铁本身也导电，涡流会白白发热。所以铁芯不做成整块，而是用一片片彼此绝缘的钢片叠起来。

每片钢片里的涡流只能绕小圈。损耗和片厚的平方成正比：片子薄到十分之一，损耗只剩百分之一。市面上的钢片薄到约 0.3 毫⁠米。

钢里还加了硅，让电阻变大，涡流更弱；但硅多了，钢的磁化变弱，所以含硅量不超过约 3.5%。台上线圈下面的 U 形铁芯，也是一片片叠起来的。

损耗 ∝ 片厚² · 钢片薄到约 0.3 毫⁠米 · 含硅不超过约 3.5%

钢轨当刹车盘

2000 年汉诺威世博会期间，德国的 ICE 3 高速列车开始载客。它是欧洲第一种在营运中装涡流轨道制动的量产列车，制动磁铁由 Knorr-⁠Bremse 制造。

每节拖车的两个转向架上，各挂两条 1,⁠540 毫⁠米长的电磁铁，每条 8 个线圈，磁极沿长度一南一北交替。平时它们升起；制动时放下，离轨头只有 7 毫⁠米。磁铁不碰钢轨，轨头就像一块被拖过磁极的金属，里面感应出涡流。

每套约 21 千⁠牛，一列车在时速 200 公里时约 170 千⁠牛；每千牛要约 4 千⁠瓦的励磁功率，全列约 680 千⁠瓦（本页计算）。列车的动能变成了钢轨里的热。

ICE 3 · 2000 年起 · 气隙 7 毫⁠米 · 每套约 21 千⁠牛 · 全列约 170 千⁠牛

越慢越没劲

涡流靠相对运动产生。低速时，制动力和速度成正比；速度再高，会在某个临界速度达到最大，然后反而下降。

ICE 3 从时速 300 公里开始制动时，时速 230 公里以上主要靠涡流制动；它一直用到时速 50 公里，然后由盘式制动把车停稳，它也不能当停车制动。钢轨会被加热，所以德国只在承受得住的线路上常规使用它：轨温不超过 75 °C 的线路，还有无砟轨道；木枕线路上只许紧急制动。

过山车和跳楼机的磁力刹车用永磁铁：车上的金属鳍片从两排磁铁中间穿过。停电时磁铁照样在，刹车照样起作用；但没有相对运动就没有制动力，所以出口的速度永远不会是零。

低速 ∝ 速度 · 临界速度时最大 · ICE 3 用到时速 50 公里

只热锅的炉子

电磁炉先把 230 伏、50 赫的市电整流成直流，再用开关管把它变成 20 到 75 千⁠赫的交流电，送进玻璃面板下的线圈。每个灶头约 1 到 3.6 千⁠瓦。第一台商用电磁灶是西屋公司 1972 年做的。

线圈是用利兹线绕的扁平螺旋：利兹线由许多根彼此绝缘的细线绞成，每根都比这个频率下的趋肤深度细。线圈下面是几根铁氧体条，把磁通引向锅，也挡住下面的电路；再下面是一块铝屏蔽板。

交变的磁场穿过玻璃，在锅底感应出涡流，热就直接在锅底产生：主要是涡流的焦耳热，铁磁性的锅还有磁滞损耗。

230 伏 · 50 赫 → 20⁠–⁠75 千⁠赫 · 每个灶头 1⁠–⁠3.6 千⁠瓦 · 西屋 1972

锅底薄薄一层

频率越高，涡流越挤在靠近线圈的表层里，深度 δ = 1/√(π f σ μ₀ μᵣ) 叫趋肤深度：电导率越大、磁导率越大，它越浅。

25 千⁠赫时，铜的趋肤深度约 0.42 毫⁠米（本页计算）。铁素体不锈钢的电阻率约是铜的 35 倍；磁导率 μᵣ 取 100 到 1,⁠000 时，它的趋肤深度只有约 0.08 到 0.25 毫⁠米。电流挤在这么薄的一层里，锅底对涡流的电阻约是铜的 60 到 190 倍。

所以能上电磁炉的不锈钢锅，锅身是 18/10 不锈钢，锅底常做成一个“胶囊”：最外层是导磁的 18/0 不锈钢，中间夹一层铝芯把热摊开。铝锅、铜锅的电阻太小，普通电磁炉热不动它们，要用频率更高的“全金属”电磁炉。

δ = 1/√(π f σ μ₀ μᵣ) · 25 千⁠赫：铜 0.42 毫⁠米 · 铁素体不锈钢 0.08⁠–⁠0.25 毫⁠米（本页计算）

玻璃是被锅烫热的

面板是微晶玻璃，不导电，交变的磁场穿过它，不在里面生出涡流。它变热，是因为热锅压在上面。

这种玻璃陶瓷热膨胀很小，能承受高达 700 °C 的温度骤变；它导热也不好，约 1.6 瓦/(米⁠·⁠开)，热不容易在面板里横向传开。

2020 年，欧洲在用的 2.33 亿台灶具里，66% 是电灶，其中电磁炉占 41%。

微晶玻璃 · 约 4 毫⁠米 · 耐 700 °C 的温度骤变 · 约 1.6 瓦/(米⁠·⁠开)

拆开电磁炉

电磁炉拆成六件：锅、微晶玻璃面板、线圈和下面的铁氧体条、铝屏蔽板、电路板（开关管、电容、风扇）、外壳。

指针停在哪一件上，它就被单独托出来，标出名字；不动时，六件的名字都标在旁边。

锅 · 面板 · 线圈 · 屏蔽板 · 电路板 · 外壳