向心力
要让一样东西转圈，就得一直把它往圆心拉。一松手，它沿着切线笔直飞出去，不是往外甩。
向下滚动
一直往里拉
转台的转轴上立着一根铜柱，柱顶拴一根丝线，线的另一头是一只 100 克的铜球。转轴每秒转 2.5 圈，球在半径 12 厘米的圆上跑，速度约每秒 1.9 米。
球的速度大小不变，方向却时刻在变。要改变速度的方向就得有力，这股力一直指向圆心，叫向心力。在这里，它来自线的拉力。
它要多大，由 F = m v²/r 决定：m 是质量，v 是速度，r 是半径。这只球需要约 3.0 牛的拉力，是它自身重量的 3 倍。线还要托住球的重量，所以略向下斜，约 18°。
红箭头：向心力 · 黑箭头：速度 · 100 克，半径 12 厘米，每秒 2.5 圈
为什么是 v²/r
在极短的时间 Δt 里，球沿圆走过一小段弧，速度的方向转过一个小角度 vΔt/r。速度的大小没变，变化的那一小段 Δv 约等于 v 乘这个角度，也就是 v²Δt/r，指向圆心。
除以 Δt，就得到向心加速度 a = v²/r。式子里的 v 出现两次：跑得越快，同样的时间里方向转得越多，而每转一点，速度的变化也越大。所以速度加倍，需要的拉力变成 4 倍；速度不变、半径减半，拉力加倍。
荷兰物理学家惠更斯在 1659 年写下了这几条比例，1673 年公布结论时没有附证明，完整的手稿到 1703 年才出版。1687 年，牛顿在《自然哲学的数学原理》里把这种拉向中心的力叫作“向心力”，拉丁文的意思是“寻找中心”。
灰箭头：前后各一刻的速度 · 它们的差指向圆心 · 慢放 8 倍
松手
线一断，就再没有东西把球往里拉。球保持断线那一刻的速度，沿着那一点的切线笔直飞出去，同时在重力下往下落。
它不是沿着半径向外飞。从上面看，这条路是一条直线，只在断线的那一点碰到圆；球离圆心越来越远，只是因为直线离开了圆。
拽着线的手会觉得球在往外拉。这股力是真实的，但它作用在手上：线把球往里拉，球也把线往外拉，两者一样大。作用在球上的，只有朝里的那一股。
红虚线：断线后的路线（本页按牛顿定律计算） · 慢放 6 倍
车里的“离心力”
汽车向左转弯，乘客觉得被一股力推向右边的车门。站在路边看，并没有这样一股力：乘客的身体要照原来的方向直走，是车在转弯，车门从外侧把人推着一起转。
常说的“离心力”只在跟着车一起转的视角里才用得上，物理学把它叫作惯性力；站在地面上看，它并不存在。
在城市里一条单车道的环岛上，车沿半径约 16 米的圆行驶，时速 25 公里。需要的向心加速度约为 3.0 米/秒²，约是重力加速度的 0.31 倍，全靠轮胎和路面的摩擦提供。
环岛内圈半径约 16 米 · 每小时 25 公里 · 约 0.31 g
离心转台
十八、十九世纪的物理课用一种手摇的转台演示这些规律。1713 年在伦敦出版的豪克斯比和惠斯顿的讲座里已经有它；1762 年，伦敦的仪器商乔治·亚当斯为英王乔治三世做过一台。到 19 世纪后期，美国的大学和中学从费城、波士顿的仪器商那里成套订购。
台上这一台照 19 世纪后期美国学校用的式样做：桃花心木底板，右边一只平放的铸铁大轮，轮上立着木柄；一根羊肠线绕过大轮的槽，连到左边铁架上的小滑轮。大轮是小滑轮的 6 倍，手柄转一圈，转轴转 6 圈。
转轴顶上的夹头可以换装附件。有的成套转台还带一对能张开的铜球，和蒸汽机上的飞球调速器同一个道理（见“瓦特的蒸汽机”一页）。下面三章是另外三种；前面的转球是本页加的。
大轮：小滑轮 = 6：1 · 手柄 1 圈，转轴 6 圈
两只球
一根光滑的钢杆上套着一大一小两只铜球，中间用一根铜管连着，只能一起滑动。大球的质量是小球的 2 倍。
转起来以后，每只球都需要向里的拉力，大小等于质量乘到轴的距离，再乘以转速的平方。铜管只能用同一股力拉住两只球，所以要停得住，两球必须满足 m₁r₁ = m₂r₂：大球离轴 4 厘米，小球离轴 8 厘米。这时两球的质心正好在轴上。
这个位置和转得多快无关。要是把它们往一边推一点，一转起来，整对球就会滑到杆的一端。
2 份质量 × 4 厘米 = 1 份质量 × 8 厘米 · 杆上的刻度每格 1 厘米
压扁的环
两条有弹性的黄铜带交叉弯成两个圆环，下端固定在转轴上，上端套在杆上，可以滑动。转起来以后，环的腰部向外鼓，上端往下滑，圆环被压扁。
环上每一点都需要向里的拉力，离轴越远需要越大；铜带只有向外弯一些，才拉得住自己。
18 世纪的讲座拿它比作地球：地球也因为自转而略扁。今天量得的赤道半径是 6378.137 千米，两极半径是 6356.752 千米，相差约 21 千米，扁率约 1/298。
环的形状是示意 · 地球的数据：WGS 84
水银往外，软木往里
两根斜着的玻璃管里装着水，一根的下端有一小段水银，另一根的上端浮着一块软木。转得够快以后，水银穿过水，升到管子的外端；软木反而退到里端。
管里每一份液体都需要向里的力，这股力来自里外的压力差。在同一个地方，压力差推每一份体积的力一样大：对水正好够，对重得多的水银不够，水银就往外走；软木比水轻，推力有余，就被推向里面。
洗衣机脱水也是这个道理。一台能洗 11 公斤衣物的商用洗衣机，滚筒直径 595 毫米，脱水时每分钟 1165 转，筒壁处的向心加速度约是重力加速度的 450 倍。筒壁推着衣服转圈，衣服里的水却抓不住这么大的力，就从筒壁的小孔沿切线飞出去。
管子斜 40° · 每秒约 1.7 圈以上，水银就往外走（本页计算）
倾斜的弯道
在平路上转弯，向心力全靠轮胎的摩擦。把路面向弯道内侧倾斜，路面的支持力就带上一点朝里的分量；倾角合适时，不靠摩擦也能转过去，条件是 tan θ = v²/(r g)。台上斜放 40° 的管子用的是同一个式子：转到每秒约 1.7 圈，水银正好停在原处，再快就往外走。
按照日本的《道路构造令》，设计速度为每小时 60 公里的道路，弯道半径一般不小于 150 米。要在这样的弯道上完全不靠摩擦，路面得倾斜约 10.7°；可法令允许的超高最多 10%，约 5.7°，积雪寒冷的地方只有 6% 到 8%，其余交给轮胎。路不能修得太斜：结冰时，开得慢或停下的车会往弯道内侧滑。
赛车场的弯道要陡得多。代托纳赛道的弯道倾斜 31°，转弯半径约 305 米，不靠摩擦时正好适合每小时约 153 公里的车速。
每小时 60 公里，半径 150 米：10.7° · 法令上限 10%（5.7°） · 代托纳 31°
转出来的重力
在太空里转动的空间站，站在外圈地板上的人被地板推着转圈。这股推力朝向圆心，脚底感到的就像体重。要和地面上一样，需要 ω²r = g（ω 是每秒转过的角度）：每分钟转 2 圈时，半径大约要 224 米；转 1 圈时，约要 894 米。
1975 年，NASA 和斯坦福大学的夏季研究设计了一个圆环形的定居点：直径 1790 米，每分钟转 1 圈，外圈地板上约是地面重力的 0.93 到 1 倍。研究把转速限在每分钟 1 圈以内，因为转得快了，人一转头就容易头晕。
绕地球飞行的空间站里没有这种重力：站和人一起绕着地球下落，地球的引力正好充当向心力。这在“一直在下落的空间站”那一页。
1 g：每分钟 1 圈 894 米 · 2 圈 224 米 · 斯坦福圆环直径 1790 米
拆开转台
转台拆成七件：两球架、夹头和转轴、小滑轮、铁架、羊肠线、手柄和大轮。
指针停在哪一件上，它就被单独托出来，标出名字；不动时，七件的名字都标在旁边。
两球架 · 夹头和转轴 · 小滑轮 · 铁架 · 羊肠线 · 手柄 · 大轮
转球
这是本页的模型：球的质量、圆的半径和每秒转数可以调，需要的拉力按 F = m v²/r 算出。线的斜度也是算出来的：转得越快，线越平。
按“松手”，线在那一刻断开，球按牛顿运动定律沿切线飞出、落下，不计空气阻力。这一章慢放 6 倍。
本页的模型 · 慢放 6 倍
试一试实验台上：100 克的球，半径 12 厘米，每秒 2.5 圈。要多大的拉力？转速加倍时拉力是几倍？半径减半时呢？
模型省略了什么
台上的转台是照 19 世纪后期美国学校的转台做的模型（参考了费城 James W. Queen 公司 1888 年目录里的、今天收藏在肯扬学院的那种），尺寸和比例是从照片估计的，不是哪一台的复制品；大轮和小滑轮 6 比 1 是本页的取值。立在转轴上的铜柱、丝线和铜球是本页为演示加的，不是历史上的附件。球的运动、需要的拉力、线的斜度和断线后的路线，都按牛顿定律计算，不计空气阻力和线的质量。压扁的环只是示意：环画成椭圆，压扁的程度随转速变，不是按铜带的弹性算的。水银和软木在多快的转速下换位是按管子的斜度算的，移动的快慢是示意。“为什么是 v²/r”一章放慢 8 倍，“松手”和“转球”两章慢放 6 倍，其余按实际转速。
几个容易误会的地方
没有一股力把转圈的东西往外推。转圈的物体只受到朝里的合力；一松手，它沿切线飞出，不是沿半径甩出去。“离心力”只在跟着一起转的视角里才出现，是一种惯性力。手上感到的向外的拉力是真实的，但它作用在手上，不在球上。向心力也不是另外一种力，而是线的拉力、摩擦、支持力或引力在这里起的作用；分析受力时，不要再另加一个“向心力”。速度大小不变的圆周运动也有加速度，因为速度的方向在变。洗衣机里的水不是被推出去的，而是没有被拉住。
常见问题 · 5
- 向心力是什么？
要改变速度的方向就得有力，这股力一直指向圆心，叫向心力。
01一直往里拉 ↑- 松手以后，转圈的球往哪里飞？
线一断，就再没有东西把球往里拉。球保持断线那一刻的速度，沿着那一点的切线笔直飞出去，同时在重力下往下落。
03松手 ↑- 离心力真的存在吗？
常说的“离心力”只在跟着车一起转的视角里才用得上，物理学把它叫作惯性力；站在地面上看，它并不存在。
04车里的“离心力” ↑- 弯道为什么修成倾斜的？
把路面向弯道内侧倾斜，路面的支持力就带上一点朝里的分量；倾角合适时，不靠摩擦也能转过去，条件是 tan θ = v²/(r g)。
09倾斜的弯道 ↑- 转动的空间站怎样造出重力？
在太空里转动的空间站，站在外圈地板上的人被地板推着转圈。这股推力朝向圆心，脚底感到的就像体重。
10转出来的重力 ↑
资料来源
- OpenStax，University Physics 第 1 卷 4.4 节：匀速圆周运动（a = v²/r 的推导，指向圆心）
- OpenStax，University Physics 第 1 卷 6.3 节：向心力（倾斜弯道 tan θ = v²/(r g)；惯性力和离心力）
- C. Huygens：De vi centrifuga（1659 年写成，1703 年出版），Œuvres complètes 第 16 卷（1929）
- C. Huygens：1673 年附在 Horologium oscillatorium 后的十三条定理（同卷附录三）
- I. Newton：Principia（1687），定义五，向心力（1729 年英译本）
- J. Ferguson：Lectures on Select Subjects（1760），“Of central forces”（离心转台和它的实验：两只球、水银和软木的管子、压扁的环）
- 科学博物馆集团（伦敦）：乔治三世的中心力仪器，George Adams 制，1762 年
- T. B. Greenslade Jr.，Instruments for Natural Philosophy（肯扬学院）：离心转台和附件
- 同上：地球的形状（压扁的环）
- 美国联邦公路局：Roundabouts: An Informational Guide（2000），第 6 章（环岛的半径和车速）
- e-Gov 法令检索：道路構造令（第 15 条曲线半径，第 16 条超高）
- 华盛顿州交通部 Design Manual 第 1250 章：横坡和超高（侧向摩擦系数）
- 代托纳国际赛车场：赛道数据（弯道倾角 31°，半径 1000 英尺）
- Electrolux Professional：11 公斤前开式洗衣机 WH6-11（滚筒直径、脱水转速、G 值）
- NASA SP-413：Space Settlements: A Design Study（1977），第 1 章（斯坦福圆环）
- 同上，第 3 章（重力和转速的生理标准）
- 同上，第 4 章（1 g、每分钟 1 圈需要 895 米以上的半径）
- 美国国家地理空间情报局：WGS 84 的定义参数（提交给联合国 ICG，2012；地球的赤道半径和扁率）
数据
The law of circular motion after C. Huygens (De vi centrifuga, written 1659, printed 1703; Œuvres complètes XVI, 1929) and I. Newton (Principia, 1687); the whirling table and its accessories after J. Ferguson (Lectures on Select Subjects, 1760), the Science Museum Group (King George III’s central forces machine, 1762) and T. B. Greenslade Jr.’s Instruments for Natural Philosophy (Kenyon College). Road values from Japan’s Road Structure Ordinance (e-Gov) and the FHWA roundabout guide (2000); the Daytona track facts from the speedway; the washer from Electrolux Professional’s product data; the spinning settlement from NASA SP-413 (1977); the Earth’s radii from WGS 84. The whirling table on the board is this page’s model, after American school whirling tables of the late 19th century (James W. Queen, Philadelphia, catalogue of 1888, the example at Kenyon College), in proportions estimated from photographs; it is not a copy of one instrument. The ball on a thread is the page’s own accessory; its motion, the pull and the flight after the release are computed from Newton’s laws in the page’s script (no air). Material presets and the model kit as on the site’s other model plates (public/looks/CREDITS.md).
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引用这幅图版
拉普拉斯的迷你世界，图版 80《向心力》，https://world.lapla.si/zh/centripetal/，CC BY-NC 4.0，2026-11-02 更新。
沿这个问题继续
图版 18一直在下落的空间站宇航员飘浮着，不是因为太空里没有引力，而是因为他们和空间站一起，一直在往下掉。
图版 C01瓦特的蒸汽机一只浸在冷水里的铁罐，省下了一大半的煤；两只飞球一转，机器便自己拿捏快慢。它 1788 年造于伯明翰，如今静立在伦敦。
