布朗运动
显微镜下，水里的微粒一刻不停地乱动。推它们的，是看不见的水分子；量出它们走多远，就能数出分子有多少。
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花粉里出来的颗粒
1827 年夏天，植物学家罗伯特·布朗在显微镜下观察一种开花植物（Clarkia pulchella）的花粉。花粉粒里装满了颗粒，长约 5 到 6 微米。他把它们放进水里，看见许多颗粒明显地在动：位置在变，有时还绕着长轴转一下。
他反复观察后确认，这既不是水在流，也不是水在蒸发，而是颗粒自己在动。
动的不是花粉粒。花粉粒大约 100 微米，大得看不出这种动；布朗看的是从花粉粒里出来、悬在水里的小颗粒。今天知道，长形的是装淀粉的小体，圆的是装油脂的小体。
花粉粒约 100 微米 · 长形颗粒约 5–6 微米 · 圆颗粒约 1 微米
不是活的
这种动看上去很像微小的生物在游。布朗于是去看压在植物标本里二十多年、有的不少于一百年的花粉，里面的小颗粒照样在动；干了一百多年的苔藓也一样。
他接着看不会活的东西。一小片窗玻璃在载物台上压碎，立刻得到大量同样大小、同样在动的颗粒。各个年代的岩石、花岗岩（其中一块取自狮身人面像）、熔岩、陨石、几种金属，还有伦敦到处落着的煤烟，都一样。
1829 年，他专门声明：自己从没说过这些颗粒是活的。它们为什么动，他说“无法解释”，也不肯猜。
百年的花粉 · 窗玻璃 · 花岗岩 · 煤烟 · 金属：颗粒都在动
四面八方的推挤
1888 年，法国物理学家古伊（Gouy）记下：颗粒越小，动得越活跃；温度越高越活跃；换一种液体也不一样。这与水流、震动和温差都无关，而是液体本身的性质。佩兰后来写道，把照明减弱到千分之一，颗粒照样在动；夜里乡下的地下室，和白天重车驶过的街边，也没有区别。
今天的解释是：颗粒四周的水分子一直在乱撞。一颗直径约 1 微米的乳香颗粒，比一个水分子重约 200 亿倍，一次碰撞推不动它。可是每一刻，四面八方的推挤都不会正好抵消，剩下的那一点点，方向和大小不停地变。我们看到的抖动，是极多次不均匀推挤的总和。
颗粒越小，液体对它的阻力越小，它走得越远；温度越高，分子动得越剧烈；液体越黏，颗粒越难走。
越小、越热、液体越稀，动得越厉害
乱走，也有规律
每一步的方向随机，走多远也随机，这叫随机行走。单看一颗颗粒，没法预言它下一刻去哪里；可是很多颗颗粒放在一起，就有规律。
让一群颗粒从同一点出发，它们散成一团。这一团越来越大，却越长越慢：离开起点的距离，它的平方平均起来与时间成正比。时间变成 4 倍，散开的距离只变成 2 倍。
一滴墨水在静水里慢慢化开，也是这样的扩散。穿过细胞膜的扩散，在“穿过细胞膜”那一页。
红圈：64 颗颗粒实测的散开 · 虚线：按式子算的 · 本页的模型
1905 年的预言
1905 年，爱因斯坦从分子运动论出发推出：悬在液体里的颗粒必定这样乱动。在时间 t 里，它沿一个方向的位移，平方的平均值是 ⟨x²⟩ = 2Dt。
D 叫扩散系数：D = RT/(N·6πηr)。T 是温度，η 是液体的黏度，r 是颗粒的半径，R 是气体常数，N 是阿伏伽德罗数，也就是一摩尔物质里的分子数。量出颗粒走多远，就能算出 N。
他举了一个例子：17 °C 的水里，直径 0.001 毫米的颗粒，1 秒约走 0.8 微米，1 分钟约 6 微米。按今天的常数和水的黏度重算，分别是 0.89 微米和 6.9 微米。他当时并不确定这就是人们说的“布朗分子运动”，因为手头的记载太不精确；论文最后写道，但愿很快有研究者能判定这个问题。
⟨x²⟩ = 2Dt · 17 °C 的水，1 微米的颗粒：1 分钟约 6 微米
每 30 秒一个点
1908 年起，法国物理学家让·佩兰着手检验这个预言。他先要一批大小相同的颗粒：把藤黄和乳香这两种树脂做成悬在水里的小球，再用离心机一遍遍按大小分开。有一次，他处理了一公斤藤黄，每天操作，几个月后只得到几分克直径约 0.75 微米的颗粒。
显微镜竖直放着，目镜上装着描绘器：眼睛同时看见视野和旁边的方格纸。他和同事 Dabrowski 轮流坐到显微镜前，一个人报时，另一个人每隔 30 秒把同一颗颗粒的位置点在纸上。
他发表了三幅描图，画的都是半径约 0.5 微米的乳香颗粒，其中一幅连着 50 个位置。按 1913 年书中的比例，16 格是 50 微米。
每 30 秒一个点 · 16 格 = 50 微米 · 乳香颗粒，半径约 0.52 微米
越看越曲折
描图上的每一段直线，只是连起了相隔 30 秒的两个位置。佩兰提醒，这只能让人对真实路线的曲折有一个“很淡的印象”：如果每秒点一次，每一段直线都会变成一条 30 段的折线，和整幅图一样复杂；再细分下去，还是这样。
所以这条路上任何一点都画不出切线，量出的“速度”也没有确定的值：点得越密，算出的平均速度越大。
按本页的模型，同一颗乳香颗粒，每 30 秒记一次，算出的平均速度约为每秒 0.21 微米；每秒记一次，约 1.1 微米；每秒记 30 次，约 6.2 微米。
红点：每 30 秒 · 灰线：每 1 秒 · 本页的模型
一滴水里的大气
空气越往上越稀：分子的乱动把它们推向四处，重力把它们往下拉，两者平衡时，大约每升高 6 千米，空气就稀一半。佩兰想到，悬在水里的颗粒也该这样分层，只是颗粒重得多，这个高度要短得多。
他在 100 微米高的小槽里放进半径 0.212 微米的藤黄颗粒，透过一个针孔，在离槽底 5、35、65、95 微米的四个高度数颗粒，前后一共数了 13,000 颗。四个高度上的数目之比是 100：47：22.6：12，差不多每升高 30 微米就少一半。
由减半的高度和颗粒的大小、密度，可以算出阿伏伽德罗数，他得到 70.5 × 10²²。按今天的常数，这些颗粒应该每升高约 34 微米少一半（本页计算）；他量出的高度短了一点，算出的数也就大了一点。
5、35、65、95 微米 · 100：47：22.6：12 · 每约 30 微米少一半，空气约每 6 千米
数出分子
把爱因斯坦的式子倒过来用，量出位移就能算出 N。佩兰汇总约 3,000 次位移，得到 71.5 × 10²²，和由分层得到的 70.5 × 10²² 很接近。
1913 年，他把十几种完全不同的方法放在一起：气体的黏度、布朗运动、天空的蓝色、黑体辐射、放射性等等，得到的值都在 60 × 10²² 到 75 × 10²² 之间。他写道，面对从如此不同的现象得出的如此精确的一致，人们不禁赞叹。
原子最有名的怀疑者之一、化学家奥斯特瓦尔德，在 1908 年 11 月写的一篇序言里承认：汤姆孙对气体离子的计数，和佩兰对布朗运动的证实，已经使最谨慎的科学家也可以说物质的原子性有了实验证明。1926 年，佩兰获诺贝尔物理学奖。今天，阿伏伽德罗常数定为 6.02214076 × 10²³，佩兰当年的数大了约 6% 到 19%。
1909 年：70.5 和 71.5 × 10²² · 1926 年：粗略平均 64 × 10²² · 今天：60.22 × 10²²
一瞬之间是直线
佩兰说路线上处处没有切线，在显微镜看得到的尺度上是对的。在极短的时间里，颗粒带着自己的惯性直线前进，方向还来不及被打乱。按一个简单的模型，半径 0.52 微米的乳香颗粒在水里，不到 0.1 微秒就“忘了”原来的方向，那段直线只有约 0.2 纳米长。
这段时间里的真实速度，每秒约 2.5 毫米（沿一个方向），比每 30 秒一点的描图上算出的“速度”快一万多倍。爱因斯坦曾断言，至少对这样小的颗粒，这个速度无法靠观察确定。2010 年，物理学家用光镊夹住空气中的玻璃小珠，第一次测到布朗粒子的瞬时速度；2014 年，在水里也测到了。
不到 0.1 微秒 · 约 0.2 纳米 · 2010 年在空气里、2014 年在水里测到瞬时速度
拆开显微镜
台上的显微镜拆成七件：描绘器、目镜、镜筒、物镜转换器、载玻片、聚光镜和反光镜。
指针停在哪一件上，它就被单独托出来，标出名字；不动时，七件的名字都标在旁边。
描绘器 · 目镜 · 镜筒 · 物镜转换器 · 载玻片 · 聚光镜 · 反光镜
颗粒、温度和液体
这是本页的模型：每颗颗粒按爱因斯坦的式子随机移动，D 由颗粒的半径、温度和液体的黏度算出；水的黏度按国际水和水蒸气性质协会的公式，甘油水（甘油按质量占 50% 或 80%）按 Cheng 2008 年的公式。时钟是真实时间。
每次重新开始，模型从这一刻起记下 30 颗颗粒的位移，算出位移平方的平均值，和 2Dt 比较。颗粒只有 30 颗，两者不会完全相等，记得越久越接近。
本页的模型 · 真实时间 · 30 颗颗粒
试一试实验台上选水、20 °C、半径 0.52 微米：30 秒内一颗颗粒沿一个方向约走多远？把半径减到一半，或者把温度升到 80 °C，扩散系数 D 各变成多少？换成 80% 的甘油水，又会怎样？
模型省略了什么
视野里的颗粒都是本页的模型，不是录像：每颗颗粒每一小步沿三个方向各走一个随机的距离，距离的分布按爱因斯坦的式子由它的大小、温度和液体算出；颗粒彼此不碰，也不受槽壁影响（贴近槽壁时实际会慢一些）。颗粒在焦点上下移动时变淡变模糊，是为了像显微镜里那样，不是光学计算。封面上红点每 5 秒一个；佩兰那一章快放 60 倍，每 30 秒一个点。分层那一章是从侧面看的示意，颗粒画得比实际大，数目也少得多。花粉那一章，长形颗粒按体积相同的圆球来算它走多远，只是近似。纸上的描图由同一个模型画出，不是照佩兰的图描的。台上的显微镜是照约 1905 年的黄铜显微镜和 Abbe 式描绘器做的模型，比例参考了博物馆的实物，不是佩兰用过的那一台。“不到 0.1 微秒”和“约 2.5 毫米每秒”用的是最简单的模型，没有算被颗粒带动的那部分水；在水里，这部分水的影响不小。
几个容易误会的地方
布朗没有看到花粉粒本身在动：一粒花粉约 100 微米，太大了；动的是从里面出来的小颗粒。布朗也没有发现原子，没有解释这种运动。看到的抖动不是一个分子撞了一下，而是极多次推挤不能完全抵消的结果，单个水分子小得根本看不见。它不是水流，不是对流，也不是生物在游；阳光里飞舞的灰尘主要是被气流带着走，佩兰特意说明不能拿来比。描图上的折线不是颗粒真正走过的路，而是每 30 秒的位置连成的直线。佩兰算出的阿伏伽德罗数比今天的值大了约 6% 到 19%，不是一开始就准到两位数字。
常见问题 · 5
- 布朗看到的是花粉粒在动吗？
花粉粒大约 100 微米，大得看不出这种动；布朗看的是从花粉粒里出来、悬在水里的小颗粒。
01花粉里出来的颗粒 ↑- 布朗运动是什么推动的？
今天的解释是：颗粒四周的水分子一直在乱撞。
03四面八方的推挤 ↑- 随机行走的颗粒散开得有多快？
这一团越来越大，却越长越慢：离开起点的距离，它的平方平均起来与时间成正比。
04乱走，也有规律 ↑- 爱因斯坦 1905 年预言了什么？
1905 年，爱因斯坦从分子运动论出发推出：悬在液体里的颗粒必定这样乱动。
051905 年的预言 ↑- 佩兰怎样数出分子？
把爱因斯坦的式子倒过来用，量出位移就能算出 N。
09数出分子 ↑
资料来源
- R. Brown（1828）：A brief Account of Microscopical Observations … on the Particles contained in the Pollen of Plants，Philosophical Magazine 4（花粉粒里的颗粒、大小、排除水流和蒸发、旧标本、玻璃、岩石和狮身人面像的碎片）
- 同文 1866 年重印本，The Miscellaneous Botanical Works of Robert Brown，第 1 卷
- R. Brown（1829）：Additional Remarks on Active Molecules，Philosophical Magazine 6（从未说过它们是活的）
- P. Pearle 等（2010）：What Brown saw and you can too，American Journal of Physics 78（花粉粒约 100 微米、颗粒是淀粉体和油体、布朗没有看到花粉粒在动）
- A. Einstein（1905）：Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen，Annalen der Physik 17
- 同文英译：Investigations on the Theory of the Brownian Movement（A. D. Cowper 译，1926）
- A. Einstein（1906）：Zur Theorie der Brownschen Bewegung，Annalen der Physik 19（Siedentopf 和古伊）
- L.-G. Gouy（1888）：Note sur le mouvement brownien，Journal de Physique 7
- J. Perrin（1909）：Mouvement brownien et réalité moléculaire，Annales de chimie et de physique 18（描绘器和方格纸、每 30 秒、颗粒分层、阿伏伽德罗数）
- 同文英译：Brownian Movement and Molecular Reality（F. Soddy 译，1910）
- J. Perrin（1913）：Les Atomes，第四章（描图的比例：16 格 = 50 微米）
- J. Perrin（1913）：Les Atomes，结论（十几种方法的一致）
- J. Perrin（1926）：诺贝尔演讲，Discontinuous Structure of Matter
- 诺贝尔奖官网：1926 年物理学奖
- W. Ostwald：Outlines of General Chemistry（德文第 4 版的英译，1912），1908 年 11 月的序言
- 美国国家标准与技术研究院：阿伏伽德罗常数（CODATA 2022，准确值）
- 美国国家标准与技术研究院：玻尔兹曼常数（CODATA 2022，准确值）
- 美国国家标准与技术研究院：2019 年国际单位制的重新定义
- 国际水和水蒸气性质协会（IAPWS）：普通水的黏度（2008）
- M. L. Huber 等（2009）：New International Formulation for the Viscosity of H₂O，J. Phys. Chem. Ref. Data 38（式 37）
- N.-S. Cheng（2008）：Formula for the Viscosity of a Glycerol−Water Mixture，Ind. Eng. Chem. Res. 47
- J. B. Segur、H. E. Oberstar（1951）：Viscosity of Glycerol and Its Aqueous Solutions，Ind. Eng. Chem. 43
- T. Li、S. Kheifets、D. Medellin、M. G. Raizen（2010）：Measurement of the Instantaneous Velocity of a Brownian Particle，Science 328
- S. Kheifets 等（2014）：Observation of Brownian Motion in Liquids at Short Times，Science 343
- R. Huang 等（2011）：Direct observation of the full transition from ballistic to diffusive Brownian motion in a liquid，Nature Physics 7
- T. Li、M. G. Raizen（2013）：Brownian motion at short time scales，Annalen der Physik 525（爱因斯坦认为瞬时速度无法观测）
- 史密森学会：约 1910 年的 Zeiss 显微镜（尺寸和部件，模型比例的参考）
- 科学博物馆集团（伦敦）：Abbe 式描绘器，1910–1930 年
数据
History after R. Brown (Philosophical Magazine, 1828 and 1829), A. Einstein (Annalen der Physik 17, 1905, and 19, 1906; English by A. D. Cowper, 1926), L.-G. Gouy (Journal de Physique, 1888), J. Perrin (Annales de chimie et de physique, 1909; English by F. Soddy, 1910; Les Atomes, 1913; Nobel lecture, 1926) and W. Ostwald’s preface of November 1908 (English, 1912); what Brown saw after P. Pearle and colleagues (American Journal of Physics, 2010). The constants k and N_A are the exact SI values (CODATA 2022); water’s viscosity from the formula of M. L. Huber and colleagues (J. Phys. Chem. Ref. Data, 2009) for the IAPWS 2008 formulation; glycerol–water mixtures from N.-S. Cheng (Ind. Eng. Chem. Res., 2008). The short-time measurements after T. Li and colleagues (Science, 2010) and S. Kheifets and colleagues (Science, 2014). Every grain in the eyepiece is this page’s model: each moves by random steps whose spread follows Einstein’s formula for its size, the temperature and the liquid; the tracings on the paper are drawn from the same model, not copied from Perrin’s figures. The microscope on the board is this page’s model of a brass stand of about 1905 with an Abbe-pattern drawing apparatus, in proportions from museum examples (Smithsonian, Science Museum Group), not a copy of any instrument Perrin used. Material presets and the model kit as on the site’s other model plates (public/looks/CREDITS.md).
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引用这幅图版
拉普拉斯的迷你世界，图版 78《布朗运动》，https://world.lapla.si/zh/brownian/，CC BY-NC 4.0，2026-11-02 更新。
沿这个问题继续
图版 36电子在哪里课本上常把电子画成绕着原子核转圈的小球。其实电子没有轨道，它更像一团云：我们只能说它在哪里出现的可能性大。
图版 69穿过细胞膜细胞膜是两层脂质分子，不到 5 纳米厚。氧气和二氧化碳直接穿过；水能慢慢渗过，也走水通道蛋白里的细孔，一个接一个排队；离子和葡萄糖要靠蛋白质。外面溶解的颗粒比细胞里多，水就流出去：紫洋葱的细胞泡进浓盐水，紫色的原生质体从细胞壁上缩回来，放回清水又胀回去。台上是按蛋白质数据库的原子坐标做的一块细胞膜，放大约 3,200 万倍。
