机械能守恒

把东西举高，能量存在高度里；松手，高度变成速度。没有摩擦，两者加起来不变。

直接动手

章节 · 9

01高度变成速度
02回到原来的高度
03每一趟都低一点
04转动分走一份
05自己卷回去
06拆开装置
07把电存成高度
08过山车
09高度、物体和摩擦

向下滚动

01

高度变成速度

把一样东西举高，要对它做功。这份功存在高度里，叫重力势能，等于 mgh：质量乘以重力加速度，再乘以高度。松手以后，它越落越快，势能变成运动的能量，叫动能，等于 ½mv²。

立柱上的钢球从 36 厘⁠米高处落进杯里，只用了 0.27 秒；到杯里时，它每秒走 2.66 米。

mgh = ½mv²：两边的质量约掉，v = √(2gh)。不计空气时，下落的速度只看落了多高，和球有多重无关。

高度从哪里量起，可以自己定；算的时候只用到高度的差。这里从球停在杯里的位置量起。

落下 36 厘⁠米 · 0.27 秒 · 到杯里每秒 2.66 米 · 每 1⁠/⁠30 秒一闪 · 慢放 4 倍

02

回到原来的高度

1638 年，伽利略在《两门新科学》第三天里假定：同一个物体沿高度相同、斜度不同的斜面下来，得到的速度一样。他用摆来说明：摆锤从一边放开，荡到另一边，几乎升回同一条水平线；在摆线经过的地方钉一颗钉子挡住摆线，摆锤走一段更弯的弧，仍然升到那条线。

他还写道：物体沿一个斜面下来，再沿另一个斜面上去，会升到和出发时一样的高度，两个斜面一样斜也好，不一样也好。

槽里的钢球从左边 18 厘⁠米高放开。左边斜 35°，右边斜 20°：在右边要走得更远，才升回同样的 18 厘⁠米。从静止放开，没有东西推它，它不会升得更高。

左边 35° · 右边 20° · 两边都是 18 厘⁠米 · 本页的模型，不计摩擦

03

每一趟都低一点

真实的球每一趟都升得低一点。伽利略也写到，摆锤差一点升不到那条线，是空气和摆线的阻力造成的；摆了很多次以后，它就停下来。

能量没有消失。摩擦和空气把一部分机械能变成了热，还有一点声音；槽、球和空气都暖了一点，只是暖得几乎觉察不到。散开的热不能全部变回高度和速度。

槽里加上摩擦（本页的模型：一个总是逆着运动的力，大小是压力的 2%）：从 18 厘⁠米放开以后，它接着升到 16.4、14.9、13.5、12.3 厘⁠米……每一趟变成热的能量，和这一趟走过的水平距离成正比。

本页的模型 · 摩擦取压力的 2% · 18 → 16.4 → 14.9 → 13.5 → 12.3 厘⁠米

04

转动分走一份

钢球和轮子从同样的高度同时放开。钢球只用 0.27 秒就落下了 36 厘⁠米，轮子却要 4.7 秒。

轮子挂在绕在轴上的两根绳子上。它往下落，绳子一圈圈松开，轮子就得转起来，转动也要能量。轮缘重、离轴远，轴又细，落到最低点时，它每秒向下只走 0.15 米，却每秒转 5.7 圈：它的动能有 99.7% 在转动里。

v = √(2gh / (1 + I/(mr²)))：I 是转动惯量，r 是绳子绕着的半径。I/(mr²) 越大，转动分走的越多。在平面上只滚不滑的实心球，转动分走 2⁠/⁠7，所以滚下来的球比没有摩擦、只滑不滚的物块慢。

同一高度同时放开 · 钢球 0.27 秒，每秒 2.66 米 · 轮子 4.7 秒，每秒 0.15 米，每秒转 5.7 圈 · 转动占 99.7%

05

自己卷回去

到了最低点，绳子全部放开，轮子还在飞快地转。它朝原来的方向接着转，把绳子从轴的另一边卷上去，自己往上爬；越爬越慢，转得也越慢，转动的能量又变回高度。

这个装置叫麦克斯韦滚摆。1905 年，德国波恩的 Gieseler 写到，他在剑桥听人说，这是麦克斯韦最喜欢的、用来演示能量守恒的装置；他做的那一台，落下 50 厘⁠米要 12 秒。

它升不回 36 厘⁠米。Pecori 和 Torzo 公布过一台实验室滚摆的实测记录：每下去再上来一次，它回到上一次高度的 94.8%（由记录算出）。本页的模型照这个比例，从 36 厘⁠米依次回到 34.1、32.4、30.7、29.1 厘⁠米……少掉的能量，在轴和绳子的摩擦、空气里，以及最低点绳子被猛地一拉的那一下变成了热。

每一趟回到上一次的 94.8% · 36 → 34.1 → 32.4 → 30.7 → 29.1 厘⁠米

06

拆开装置

这台滚摆拆成八件：底座、立柱、横臂、绳夹、轮子、标尺、释放夹和接球杯。

指针停在哪一件上，它就被单独托出来，标出名字；不动时，八件的名字都标在旁边。

底座 · 立柱 · 横臂 · 绳夹 · 轮子 · 标尺 · 释放夹 · 接球杯

07

把电存成高度

把轮子卷回 36 厘⁠米，手做的功就存进了它的高度：1.02 千⁠克的轮子，约 3.6 焦。抽水蓄能电站做的是同一件事，只是大得多：电有富余时，用电把下面水库的水抽到山上的水库；需要电时，放水下来发电。

九州电力在日本宫崎县的小丸川电站，有效落差 646.2 米，上水库可用的水 560 万立方米。按 mgh 算，这些水存着约 9.86 吉⁠瓦⁠时的能量。电站说，这些水可以让它以 120 万⁠千⁠瓦的功率发电约 7 小⁠时，也就是 8.4 吉⁠瓦⁠时，约为 85%；其余的在水道、水轮机和发电机里变成了热。

抽水时也有损失。按新华社报道的设计数字，中国丰宁抽水蓄能电站每年抽水用电 87.16 亿千瓦时，发电 66.12 亿千瓦时：用掉的电约有四分之三能拿回来。

小丸川：落差 646.2 米 · 可用水 560 万立方米 · 算出约 9.86 吉⁠瓦⁠时 · 发电 120 万⁠千⁠瓦 × 7 小⁠时 = 8.4 吉⁠瓦⁠时

08

过山车

槽里的物块从左边的顶上滑下（本页的模型，不计摩擦）：滑到最低点时最快，又在右边升回同样的高度。

长岛温泉乐园的过山车 Steel Dragon 2000 由链条拉上 97 米高的顶，最大落差 93.5 米。不计摩擦，落下 93.5 米以后，速度是 √(2gh)，即每秒 42.8 米，约合每小时 154.2 千米。乐园公布的最高速度是每小时 153 千米。

两者只差 0.8%，按能量算差约 1.5%，约合 1.4 米的落差：车轮的转动、轮子和轴承的摩擦、空气，还有整列车的重心落得比轨道略少，都在这一点差别里。算的时候要用落差，不用塔高：用 97 米会算出每小时 157 千米。

落差 93.5 米 · 不计摩擦每小时 154.2 千米 · 公布每小时 153 千米 · 能量差约 1.5%

09

高度、物体和摩擦

这是本页的模型：在槽的左边放开一个物体，看它在两边来回。物块只滑不滚；钢球在平的槽底上滚；小轮子的细轴在槽壁的两条铜条上滚，大部分能量都用来转。

摩擦按一个总是逆着运动的力来算，大小是压力的一个分数；三种物体用同一种算法。四条能量（高度、运动、转动、热）加起来，始终是放开时的 100%。

本页的模型 · 高度、运动、转动、热加起来不变

试一试实验台上从 20 厘⁠米高放开小球，不计摩擦：它在右边升到多高？换成轮子呢？

模型省略了什么

滚摆和槽都是本页按 19 世纪的仪器做的模型，材料和尺寸是我们选的。滚摆的样子参照：Kohl 公司约 1909⁠–⁠1911 年目录里的“惯性摆（麦克斯韦的）”，因斯布鲁克大学约 1880 年的一只滚摆。槽和带细轴的小轮子，参照的是 Gieseler 1905 年写到的一条改装的伽利略落槽。轮子 1.02 千⁠克，绳子绕着的半径 4.25 毫⁠米，落下的时间和速度都由模型算出。每一趟回到 94.8% 取自一台实验室滚摆的实测，本页把这份损失均匀地放在一路上；最低点的转身画成轴绕着绳子的末端转半圈。钢球不计空气。槽里的摩擦是本页的简化：一个逆着运动、大小和压力成正比的力，不计弯道上多出来的压力。抽水蓄能和过山车的数字取自运营方，计算不计水位的变化、车长和起点的速度。慢放、频闪和球在杯里的小跳只是为了看清。

几个容易误会的地方

能量不会“用完”，只会变成别的形式；摩擦把机械能变成热和声音，散开的热不能全部变回来。从静止放开的物体，没有别的东西推它，升不到比出发点更高。重力势能要先选一个零点，选在哪里都行，有意义的只是高度的差；这份能量也不只属于物体，属于物体和地球这一对。只滚不滑的滚动本身不消耗能量，滚得慢是因为一部分能量在转动里，到了上坡还会变回高度。“机械能守恒”只在摩擦和空气可以不计时成立；把热也算进去，总能量始终守恒。

常见问题 · 5

落下的速度和高度有什么关系？: mgh = ½mv²：两边的质量约掉，v = √(2gh)。不计空气时，下落的速度只看落了多高，和球有多重无关。
01高度变成速度
从静止放开的球能升得比出发点更高吗？: 从静止放开，没有东西推它，它不会升得更高。
02回到原来的高度
摩擦让能量消失了吗？: 能量没有消失。摩擦和空气把一部分机械能变成了热，还有一点声音；槽、球和空气都暖了一点，只是暖得几乎觉察不到。
03每一趟都低一点
麦克斯韦滚摆为什么落得这么慢？: 它往下落，绳子一圈圈松开，轮子就得转起来，转动也要能量。
04转动分走一份
抽水蓄能电站怎样把电存起来？: 电有富余时，用电把下面水库的水抽到山上的水库；需要电时，放水下来发电。
07把电存成高度

资料来源

数据

Galileo Galilei, Two New Sciences (Leiden, 1638), Third Day, in the English of H. Crew and A. de Salvio (1914); T. Young, A Course of Lectures on Natural Philosophy (1807). The wheel’s history after Eb. Gieseler, Zeitschrift für den physikalischen und chemischen Unterricht 18 (1905), Max Kohl A.G., Price list No. 50 (Chemnitz, about 1909⁠–⁠1911), the University of Innsbruck’s collection of historical instruments (Inv. IV 259) and the University of Vienna’s historical collection. Standard gravity as defined by the CGPM (NIST); the energy relations as in OpenStax University Physics and College Physics; the height a lab Maxwell wheel regains from the run B. Pecori and G. Torzo published with their 1998 paper; the lab wheels’ sizes from PHYWE, Leybold and BCIT. Steel Dragon 2000 from Nagashima Spa Land and the Roller Coaster DataBase; Omarugawa from Kyushu Electric Power; Fengning as reported by Xinhua. Every motion on the page is computed from these (computed.py and sim.js). The wheel, its stand, the valley track and its bodies are this page’s model after the period instruments, not copies of any one; their sizes and materials are ours. Material presets and the model kit as on the site’s other model plates (public/looks/CREDITS.md).

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