沙子画出的振动

1787 年，一把琴弓

1787 年，德国物理学家克拉德尼在莱比锡出版了《关于声音理论的发现》。他用手指捏住一块玻璃板或金属板的某一点，用小提琴的弓垂直拉板的边缘，板就发出一个纯净的音。

他在板上撒了沙子。板一响，沙子从振动的地方被抛开，停在不动的地方，排成清晰的线。书里附了十一页铜版画，画的是这些图形。

模型：360 毫米见方、2 毫米厚的黑色阳极氧化铝板，中心固定在激振器上

沙子停在不动的线上

板振动时，各处上下起伏的幅度不同。有些线上几乎完全不动，叫作节线。节线两边的板一边向上、一边向下，交替起伏。

只要板的加速度超过重力，沙粒就会被抛起，落到稍远的地方。它一次次被抛开，直到落在节线上。那里板几乎不动，沙粒不再被抛起，就停了下来。

板的起伏画得比实际大，速度放慢

调到共振

现在板由下面的激振器带动，频率可以连续调。大多数频率下，板只是跟着轻轻上下动，沙子几乎不动。

频率碰到板自己的一个固有频率时，板的振动一下子大了几十倍，沙子迅速聚成一幅图。从中心带动这块板，在 3000 赫兹以下有 12 个这样的频率：43、175、336、543、872 赫兹……

越来越细的图

板的每一种振动方式叫一个振型，各有自己的频率和节线。频率越高，节线越多，图形越细。

板和琴弦不同。琴弦的节点加倍，频率大约加倍；板的节线加倍，频率大约变成四倍。频率大致随节线数的平方上升，因为板越弯越密，就越硬。

手指选出图形

从中心带动时，只有和方板一样左右、上下、对角都对称的图形会出现。克拉德尼用琴弓，可以叫出其他的图。

琴弓拉的地方必须振动，手指按住的地方必须不动。在所有满足这两个条件的振型里，最低的那个会响起来。换一个按的地方，就换一幅图。

两幅图叠在一起

方板的一些振型成对出现：两幅图形状相同，只是转了 90 度，频率完全一样。这样一对振型可以按任意比例叠在一起，叠出来的仍然是这个频率的振动。

叠的比例不同，节线就不同。同一对振型，可以叠出沿着中线的图，也可以叠出沿着对角线的图，中间是一连串歪斜的样子。克拉德尼书里许多经典图形，就是这样叠出来的。用琴弓时，按住的位置决定了叠的比例。

一道悬赏题

1809 年，克拉德尼在巴黎向拿破仑演示了这些图形。同年，巴黎科学院悬赏 3000 法郎，征求能解释它们的弹性薄板数学理论。

1811 年，只有索菲·热尔曼一人应征，没有获奖；评委拉格朗日从她的假设推出了正确的四阶方程。1813 年她得到荣誉提名。她的第三篇论文在 1816 年 1 月获奖。

她的推导并不严密，给出的板边条件也不对。1850 年，基尔霍夫给出了自由板边的正确条件，算出了圆板的振动，并和克拉德尼测得的音高作了比较。本页的振型就是按基尔霍夫的薄板方程算的。

提琴面板

制琴师也用这个办法。把刻好还没粘上的面板放在扬声器上方的软垫上，撒上细粒，慢慢调高扬声器的音调，看哪些频率出现图形。

他们最常看第 2 和第 5 个振型。按 Hutchins 的调法，第 5 振型的目标在 350 到 370 赫兹左右，比第 2 振型高一个八度。音不对，就刮薄某一块木头，再试。

模型：平的、厚度均匀的云杉板，提琴外形简化，没有拱起和 f 孔