# 牛⁠顿第二定律

拉普拉斯的迷你世界 · 图版 82 · 宇宙

> 力不是让东西动下去的原因，而是改变运动的原因。同样一推，质量大的加速慢；推力加倍，加速度也加倍。

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- 更新于：2026-11-02

## 01 落得太快

东西从手里落下，第一秒就掉下约 4.9 米，到第二秒末已经掉下约 19.6 米。拿一只每秒响一下的钟去数，根本来不及。

阿⁠特⁠伍⁠德在 1784 年的书里举过一个例子：有人从伦敦圣⁠保⁠罗大教堂的内穹顶放下一个铅球，落了约 83 米，用了 4.5 秒；按自由落体算，这段时间应当落下约 99 米。差的十几米，是空气挡掉的。

他的办法是把下落放慢：两只一样重的盒子挂在一根丝线的两头，跨过一只很轻的轮子，只在一边多加一点重量。台上这台照他书里的图做。和盒子 A 同一响放开的钢球，约 0.6 秒就落到纸上，A 这时才走了不到 3 厘⁠米。

*自由落体第一秒约 4.9 米 · 台上这台第一秒约 7.7 厘⁠米 · 钢球是本页加的*

## 02 多出来的 7.8 克

两只盒子连同里面的砝码各重 202 克，挂在一起正好平衡。盒子 A 上面再搁一根 7.8 克的扁铜条，叫作骑码。只有骑码的重量没有被抵消，它拖着整套东西一起动。

被拖动的不只是骑码：两只盒子要跟着动，轮子和托住它的四个摩擦轮也要越转越快。阿⁠特⁠伍⁠德量过，这些轮子相当于在轮缘上多出 85.5 克。加起来约 498 克，是骑码的 64 倍。

所以加速度只有自由落体的 1⁠/⁠64：a = g/64，约 0.153 米⁠/⁠秒⁠²。A 第 1 秒走 7.7 厘⁠米，前 2 秒共走 30.6 厘⁠米，前 3 秒共走 69 厘⁠米。走过的距离和时间的平方成正比，钟每响一下记一次，正好数得过来。

*骑码 7.8 克 · 整套约 498 克 · a = g/64 ≈ 0.153 米⁠/⁠秒⁠² · 红线：每一响时 A 的位置*

## 03 骑码被摘下之后

刻度尺上夹着一只圆环，环的内径比盒子大，比骑码短。盒子 A 穿过圆环往下走，骑码却被环架住，留在上面。

从这一刻起，两边又一样重，不再有没被抵消的力。A 不会停下，也不会再加快，而是照那一刻的速度匀速往下走。没有合力时，静止的东西保持静止，运动的东西保持匀速直线运动：这是牛⁠顿第一定律，阿⁠特⁠伍⁠德在书页边上也是这样标注的。

这样，速度也量得出来。照阿⁠特⁠伍⁠德的做法，圆环夹在 30.6 厘⁠米处，A 在第 2 响到达，速度约每秒 30.6 厘⁠米；方台夹在 91.9 厘⁠米处，A 又过了正好 2 秒，在第 4 响落到台上。

*前 2 秒加速 · 后 2 秒匀速 · 圆环在 30.6 厘⁠米，方台在 91.9 厘⁠米*

## 04 力加倍，质量加倍

骑码加到两根、三根时，从两只盒子里各取出半根、一根骑码的重量，被拖动的质量仍是 64 份。拖动的力是原来的 2 倍、3 倍，1 秒后的速度也是 2 倍、3 倍：每秒 15.3、30.6、46.0 厘⁠米。

反过来，同样的力加在两倍的质量上，加速度减半。牛⁠顿第二定律说：加速度和合力成正比，和质量成反比，方向和合力相同，写成 a = F/m，或者 F = m a。

1687 年，牛⁠顿写下这条定律时说的是：运动的改变和所加的力成正比，并且沿着力的方向发生。阿⁠特⁠伍⁠德说，在他之前，书里找不到能把运动定律好好检验一番的实验；他的机器把力、质量、距离、时间和速度分开来量。

*1、2、3 根骑码 · 同样 64 份质量 · 1 秒后每秒 15.3、30.6、46.0 厘⁠米*

## 05 线拉得有多紧

盒子不动时，线拉每只盒子的力正好等于它的重量。一动起来，就不是了。

A 在加速往下走，说明往上拉它的力比它的重量小：A 连骑码一共 210 克，重 2.06 牛，可线只拉它约 2.03 牛。B 在加速往上走，线拉它的力就大于它的重量：B 重 1.98 牛，线拉它约 2.01 牛。

把线上的拉力当成某一边的重量，是这类题最常见的错。如果轮子很轻、又没有摩擦，拉力是 T = 2 m₁ m₂ g/(m₁ + m₂)，总在两边的重量之间。台上的轮子有质量，两边的拉力还差一点点，差的这一点正好让轮子越转越快。

*A：重 2.06 牛，线拉 2.03 牛 · B：重 1.98 牛，线拉 2.01 牛（本页计算）*

## 06 质量不是重量

轮子在这里只添质量，不添拉力：它的重量压在轴上，不拖着哪一边往下走；可要它越转越快，就得出力。阿⁠特⁠伍⁠德把它算作轮缘上的 85.5 克，和盒子、骑码一起计入被拖动的质量。

质量说的是改变一样东西的运动有多难，单位是千克；重量是地球对它的引力，是一种力，单位是牛：w = m g。到了月球上，质量不变，重量只剩约六分之一，这台机器的加速度也只剩约六分之一。

正因为重量和质量成正比，没有空气时，轻的和重的落得一样快：重一倍的东西受的引力大一倍，要拖动的质量也大一倍，加速度就不变。1971 年，阿⁠波⁠罗 15 号的一位宇航员在月面上同时放下一把锤子和一根羽毛，它们同时落地。

*被拖动的质量：盒子 404 克 + 骑码 7.8 克 + 轮子 85.5 克 · 拖动的力：骑码的重量，约 0.076 牛*

## 07 起步

同一条定律也管着车。拿一辆丰田 Yaris 混合动力小车（功率较小的一款）来说，厂家写的整备质量是 1145 到 1190 公⁠斤，从静止加速到每小时 100 公⁠里用 9.7 秒。平均加速度约 2.86 米⁠/⁠秒⁠²，约是重力加速度的 0.29 倍，需要的平均合力约 3300 到 3400 牛。

坐满人、装上行李，加到厂家允许的最大总质量 1615 公⁠斤，同样的合力就要 13.2 到 13.7 秒。满载的卡车起步慢，要停下也得更长的距离，是同一个道理。

这里说的是合力：车轮推车向前的力，减去空气和路面的阻力。所以车轮的推力还要更大。车匀速开着时，两者正好抵消，合力为零：保持速度不需要合力，改变速度才需要。

*0 到每小时 100 公⁠里 9.7 秒 · 平均 2.86 米⁠/⁠秒⁠² · 同样的合力，满载要 13.2⁠–⁠13.7 秒（本页计算）*

## 08 停下

停下也是改变运动，同样要合力，停得越急，力越大。按美国的汽车安全标准（FMVSS 208），系好安全带的假人要随车以最高每小时 56 公⁠里撞上一堵刚性的墙；它胸口的加速度，除去累计不超过 3 毫⁠秒的片刻，不得超过 60 g。

这个假人约 78 公⁠斤。从每小时 56 公⁠里停下：若在 30 厘⁠米内停住，平均减速度约 41 g，平均要约 31 千⁠牛的力；停的距离拉长到 60 厘⁠米，降到约 21 g、16 千⁠牛；拉长到 1 米，约 12 g、9 千⁠牛。a = v²/(2 d)：距离加倍，力减半。

车头被压扁、安全带拉长、气囊鼓起，都在拉长人停下来的那段距离，力由安全带、气囊和座椅一起承担。安全带本身也会伸长：按美国标准 FMVSS 209 的一般要求，在 11,⁠120 牛的拉力下，腰带的织带最多伸长 30%，肩带最多 40%。

*从每小时 56 公⁠里停下：30 厘⁠米约 41 g · 60 厘⁠米约 21 g · 1 米约 12 g（本页按这些距离计算，不是测量值）*

## 09 1784 年的机器

这台机器是阿⁠特⁠伍⁠德在剑桥大学讲实验物理课时用的，他曾是剑桥三一学院的院士。1784 年，他把机器和一系列实验写进一本论物体直线运动和转动的书。据他书中所说，机器由伦敦的仪器商 L. Martin 和 G. Adams 制作。

轮子的轴不搁在固定的孔里，而是搁在四个摩擦轮的轮缘上，滚而不磨。阿⁠特⁠伍⁠德测过：两边平衡时，加上 2 格⁠令（约 0.13 克）就能让整套动起来，摩擦不到骑码的六十分之一。

他用手托一根扁尺垫在盒子下面，听准秒摆的一响抽开。书出版以前，那不勒斯的 Poli 已经从伦敦订到一台，制造者 Ramsden 加了一个机关，让摆和盒子同时放开；19 世纪的机器都用上了这样的机关，大多也把四个摩擦轮换成一组固定的轮子，或者一只简单的滑轮。

*摩擦小于 2 格⁠令（约 0.13 克） · 秒摆长约 0.994 米，每摆一下 1 秒*

## 10 拆开阿⁠特⁠伍⁠德机

机器拆成九件：轮子、摩擦轮、小桌和支架、盒子和丝线、圆环、方台、刻度尺、秒摆钟、立柱和底座。

指针停在哪一件上，它就被单独托出来，标出名字；不动时，九件的名字都标在旁边。

*轮子 · 摩擦轮 · 小桌和支架 · 盒子和丝线 · 圆环 · 方台 · 刻度尺 · 秒摆钟 · 立柱和底座*

## 11 盒子、骑码和圆环

这是本页的模型。两只盒子一样重，可以调；骑码的质量和圆环的位置也可以调。按“放开”，A 在下一响出发。

加速度按牛⁠顿第二定律算。拖动的力是骑码的重量，被拖动的质量是两只盒子和骑码，再加上轮子相当的 85.5 克。读数的第二行不计轮子，用的是课本上的式子。打开“摩擦”，再减去阿⁠特⁠伍⁠德量到的上限：2 格⁠令的重量。

*本页的模型 · 不计空气和线的质量*

**试一试**：在实验台上，让两只盒子各 202 克、骑码 7.8 克，加速度是多少？骑码换成两倍重，加速度变成几倍？为什么不正好是两倍？

## 模型省略了什么

台上的机器是照阿⁠特⁠伍⁠德 1784 年书中的版画做的模型：十字底座上的桃花心木立柱、顶板上的小桌和黄铜支架、四个摩擦轮、左边单独的刻度尺、立柱上的秒摆钟。比例从版画估计；轮子的尺寸参照阿伯丁大学收藏的同时代摩擦轮（主轮直径 164 毫⁠米，摩擦轮 100 毫⁠米）。它不是哪一台的复制品。阿⁠特⁠伍⁠德的尺按英寸和十分之一英寸刻，这里按厘米刻；托住 A 的翻板照后来的机器做，阿⁠特⁠伍⁠德自己是用手托一根扁尺，听准一响抽开。盒子、骑码和轮子的质量都用阿⁠特⁠伍⁠德书里的数，他的单位 m 是 120 格⁠令，约 7.78 克。运动按牛⁠顿第二定律计算，不计空气阻力和线的质量；摩擦只在实验台打开时计入。钢球是本页加的。

## 几个容易误会的地方

力不是维持运动的原因：没有合力时，东西保持静止或者匀速直线运动；骑码被摘下以后，A 照样往下走。加速度由合力决定，不由某一个力决定：车匀速行驶时，车轮还在推车，但合力为零。质量不是重量：质量的单位是千克，重量是力，单位是牛。阿⁠特⁠伍⁠德机在动的时候，线的拉力不等于任何一边的重量。没有空气时轻的和重的一起落下，不是因为引力一样大，而是引力和质量成正比。

## 常见问题

### 没有力，运动的东西会停下来吗？

没有合力时，静止的东西保持静止，运动的东西保持匀速直线运动：这是牛⁠顿第一定律，阿⁠特⁠伍⁠德在书页边上也是这样标注的。

见：[03 骑码被摘下之后](https://world.lapla.si/zh/secondlaw/#ring)

### 牛顿第二定律说的是什么？

牛⁠顿第二定律说：加速度和合力成正比，和质量成反比，方向和合力相同，写成 a = F/m，或者 F = m a。

见：[04 力加倍，质量加倍](https://world.lapla.si/zh/secondlaw/#law)

### 阿特伍德机里线上的拉力等于重量吗？

A 在加速往下走，说明往上拉它的力比它的重量小：A 连骑码一共 210 克，重 2.06 牛，可线只拉它约 2.03 牛。

见：[05 线拉得有多紧](https://world.lapla.si/zh/secondlaw/#tension)

### 为什么轻的和重的东西落得一样快？

正因为重量和质量成正比，没有空气时，轻的和重的落得一样快：重一倍的东西受的引力大一倍，要拖动的质量也大一倍，加速度就不变。

见：[06 质量不是重量](https://world.lapla.si/zh/secondlaw/#mass)

### 安全带为什么要能拉长？

车头被压扁、安全带拉长、气囊鼓起，都在拉长人停下来的那段距离，力由安全带、气囊和座椅一起承担。

见：[08 停下](https://world.lapla.si/zh/secondlaw/#belt)

## 资料来源

1. [OpenStax，University Physics 第 1 卷 5.2 节：牛⁠顿第一定律](https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/5-2-newtons-first-law)
2. [同上，5.3 节：牛⁠顿第二定律（a = F/m；匀速行驶的车合力为零）](https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/5-3-newtons-second-law)
3. [同上，5.4 节：质量和重量（w = m g）](https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/5-4-mass-and-weight)
4. [同上，6.1 节：例 6.5，阿⁠特⁠伍⁠德机（加速度和线上的拉力）](https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/6-1-solving-problems-with-newtons-laws)
5. [同上，3.5 节：自由落体](https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/3-5-free-fall)
6. [I. Newton：Principia（1687），运动定律第二条（1729 年英译本）](https://en.wikisource.org/wiki/The_Mathematical_Principles_of_Natural_Philosophy_(1729)/Axioms,_or_Laws_of_Motion)
7. [G. Atwood：A Treatise on the Rectilinear Motion and Rotation of Bodies（剑桥，1784），第七节：机器、它的各部分和实验（Wellcome Collection 藏本）](https://archive.org/details/b28764821)
8. [同上，另一藏本（含机器的版画，图 78⁠–⁠83）](https://archive.org/details/bim_eighteenth-century_a-treatise-on-the-rectil_atwood-george-f-r-s_1784)
9. [S. Esposito、E. Schettino：Spreading scientific philosophies with instruments: the case of Atwood’s machine（arXiv，2012）](https://arxiv.org/abs/1204.2984)
10. [剑桥大学惠普尔科学史博物馆：阿⁠特⁠伍⁠德机，法国，约 1820 年（Wh.2501）](https://collections.whipplemuseum.cam.ac.uk/objects/9407)
11. [阿伯丁大学：阿⁠特⁠伍⁠德机顶部的摩擦轮，Patrick Copland，1780⁠–⁠1800 年](https://exhibitions.abdn.ac.uk/university-collections/document/11375)
12. [T. B. Greenslade Jr.，Instruments for Natural Philosophy（肯扬学院）：阿⁠特⁠伍⁠德机](https://physics.kenyon.edu/EarlyApparatus/Mechanics/Atwoods_Machine/Atwoods_Machine.html)
13. [M. Pecori、G. Gandolfi、G. Torzo：Playing with the Atwood machine（GIREP，卢布尔雅那，1996；轮子的等效质量和摩擦）](https://www.labtrek.it/torzo/ATW_Lubiana_1996.pdf)
14. [Toyota (GB)：Yaris 技术规格（2026；0 到 100 公⁠里⁠/⁠时的时间、整备质量、最大总质量）](https://media.toyota.co.uk/260810-yaris-tech-specs/)
15. [美国联邦机动车安全标准 FMVSS 208：乘员碰撞保护（刚性墙碰撞，胸部加速度上限 60 g）](https://www.ecfr.gov/current/title-49/subtitle-B/chapter-V/part-571/section-571.208)
16. [FMVSS 209：安全带总成（织带的强度和伸长）](https://www.ecfr.gov/current/title-49/subtitle-B/chapter-V/part-571/section-571.209)
17. [Humanetics：Hybrid III 第 50 百分位男性假人的技术规格（重量）](https://www.humaneticsgroup.com/sites/default/files/2020-06/hybiii50-tps.pdf)
18. [NASA NSSDCA：月球数据（表面重力加速度 1.62 米⁠/⁠秒⁠²）](https://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/moonfact.html)
19. [NASA NSSDCA：阿⁠波⁠罗 15 号的锤子和羽毛（1971）](https://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/lunar/apollo_15_feather_drop.html)

## 数据

The machine and its experiments after G. Atwood, A Treatise on the Rectilinear Motion and Rotation of Bodies (Cambridge, 1784; the Wellcome Collection and ECCO copies on the Internet Archive) and its engraved plate (drawn by T. Malton, engraved by J. Basire); the friction-⁠wheel head’s sizes after the University of Aberdeen’s Copland instrument (ABDNP:200205a); later machines after the Whipple Museum (Wh.2501), the Science Museum Group and T. B. Greenslade Jr.’s Instruments for Natural Philosophy (Kenyon College); the history after S. Esposito and E. Schettino (arXiv:1204.2984). The physics after OpenStax University Physics Volume 1 (chapters 3, 5 and 6); Newton’s Law II from the Principia (1687; A. Motte’s translation, 1729). The car’s figures from Toyota (GB)’s Yaris technical specifications (2026); the crash test and belt figures from US FMVSS 208 and 209 (eCFR); the test dummy’s mass from Humanetics’ Hybrid III 50th specification; the Moon’s gravity and the hammer and feather from NASA. The machine on the page is this page’s model after the 1784 engraving, in proportions estimated from it; it is not a copy of one instrument. Its masses are Atwood’s own (his unit m = 120 grains); its motion, the line’s pull and the beats are computed from Newton’s second law in the page’s script (no air; friction only where the lab turns it on). The steel ball is the page’s own. Material presets and the model kit as on the site’s other model plates (public/looks/CREDITS.md).

## 许可 CC BY-NC 4.0

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## 引用这幅图版

拉普拉斯的迷你世界，图版 82《牛⁠顿第二定律》，https://world.lapla.si/zh/secondlaw/，CC BY-NC 4.0，2026-11-02 更新。