# 抛体运动

拉普拉斯的迷你世界 · 图版 79 · 宇宙

> 从桌边飞出的球，向前的速度一直不变，往下掉得和直接松手一样快。两种运动互不干扰，合在一起，是一条抛物线。

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- 更新于：2026-11-02

## 01 桌边的球

伽利略有一页运动手稿，今天编为 Ms. Gal. 72 第 116 页背面。页上画着桌面、桌边和五条落到地上的曲线，旁边写着数字。按史家 Drake 的读法，这是一颗球从桌上不同的高度放开、从桌边水平飞出、落到地上的五次记录。他根据纸张和水印，把它定在 1608 年底前后。

单位是伽利略的“点”（punto）。按他的比例规上的刻度量，1 点约 0.94 毫⁠米。页上写的桌高是 828 点，约 0.78 米。从 300 点高放开，球落在 800 点外；从 1000 点高放开，落在 1500 点外。

手稿没有画斜面，也没有写装置的样子。台上的斜面、弯头和铜球，是按 Drake 的复原做的模型；也有史家对这页手稿另有读法。

*放开的高度 300、600、800、828、1000 点 · 落点 800、1172、1328、1340、1500 点 · 1 点约 0.94 毫⁠米*

## 02 同时落地

桌边还托着第二颗球，和第一颗球离开桌边时一样高。第一颗球飞出的那一刻，托着它的小门打开，它竖直落下。这是本页的演示，不是伽利略做过的实验。

每隔 1⁠/⁠30 秒闪一次光：两颗球总在同一高度。一颗在向前飞，一颗没有，往下却掉得一样快。约 0.40 秒后，两颗球同时落地。

*每 1⁠/⁠30 秒一闪 · 从 0.78 米高落下 · 约 0.40 秒落地 · 本页的模型*

## 03 没有向前推的力

1638 年，伽利略在《两门新科学》第四天的开头写道：在没有摩擦的水平面上，物体的运动是匀速的、永远持续的；越过平面的边缘以后，它在原来的匀速运动之外，又多了一个由自身重量引起的向下的趋势。

球离开桌边以后，受到的力只有重力，竖直向下；对这颗铜球，空气的阻力小到可以不计。没有东西推着它向前，也没有东西让它向前的速度变慢：从桌边到地面，一直是每秒 3.16 米。

向下的速度从零开始，每过 1 秒快约 9.8 米⁠/⁠秒。落地时，它每秒向下约 3.9 米。

*向前：每秒 3.16 米，不变 · 向下：每过 1 秒快约 9.8 米⁠/⁠秒 · 本页的模型*

## 04 一、四、九、十六

下落用了 0.40 秒，把它分成相等的四段，每段约 0.1 秒。每一段里，球向前走的距离一样；往下落的距离却是 1、3、5、7 份，累计是 1、4、9、16 份。这条奇数的规律，伽利略在第三天里证明过。

向前 2 段，落下 4 份；向前 3 段，落下 9 份。落下的距离与向前距离的平方成正比，这样的曲线叫抛物线。

y = gx² / (2v²)：x 是向前的距离，y 是落下的距离，v 是向前的速度。

伽利略在第四天的第一个命题里证明：水平的匀速运动和自然加速的下落合在一起，走出的是半条抛物线。证明的前提是，这两种运动合在一起时“彼此不改变、不干扰、不妨碍”。

*每段约 0.1 秒 · 向前 1、2、3、4 段 · 落下 1、4、9、16 份*

## 05 对一对数

从桌边落到地面的时间，和球向前飞得多快无关。所以落点有多远，只看球离开桌边时的速度。放开的地方越高，速度越快：高度是 4 倍，速度和落点都是 2 倍。

伽利略就这样核对。以第一次为准（300 点高，落在 800 点外）：600 点高应落在 1131 点，量到 1172；800 点应为 1306，量到 1328；828 点应为 1330，量到 1340；1000 点应为 1460，量到 1500。差数 41、22、10、40，都写在页上。

量到的每一次都比算出的远一点，最多远 3.6%。按今天的算法，一颗在平板上只滚不滑的球还应落得更远，量到的是它的 95% 到 98%。也有史家认为，留下来的这几次实验并没能清楚地显出路线的形状。

*按高度的平方根算：1131、1306、1330、1460 · 量到：1172、1328、1340、1500 · 单位：点*

## 06 45°

换一种抛法：斜着向上抛，落在和出手一样高的木板上。速度不变，只改角度，落点就变。不计空气时，落点 R = v² sin 2θ / g，45° 抛得最远。

炮手早就知道仰角 45° 打得最远，1537 年塔尔塔利亚也这样写过。1638 年，伽利略证明了这一条，还证明了比 45° 大和小同样度数的两个角落在同一处，比如 30° 和 60°、15° 和 75°。他说，这一点也许从来没有人在实际中看到过。

抛得再快、再远，地面的弯曲也要算进来：那在“一直在下落的空间站”那一页。

*每秒 3.96 米 · 45°：1.60 米 · 30° 和 60°：1.39 米 · 15° 和 75°：0.80 米 · 不计空气*

## 07 有空气的时候

空气几乎拦不住重的铜球：每秒 3.96 米、45° 抛出，只比不计空气时近 4 毫⁠米。乒乓球轻得多，同样抛出，落在 1.42 米处，近了 0.18 米。

空气的阻力总是迎着运动的方向，速度越快，阻力越大。球向前的速度一路变小，下降的一段就比上升的一段短，也更陡：乒乓球以 45° 向上出手，以 48° 向下落地。伽利略也写过，打得极快的炮弹，路线的开头会比结尾平直。

速度越快，空气的影响越大。一颗每秒 44.7 米（时速 100 英里）击出、不旋转的棒球，不计空气能飞 204 米；算上空气，45° 只飞 110 米，飞得最远的角度降到约 40°。真实的击球带着后旋，比赛里飞得最远的出手角约在 25° 到 30°。

*铜球 1.60 米 · 乒乓球 1.42 米 · 棒球（每秒 44.7 米，不旋转）：真空 204 米，空气中最远 111 米，约 40°*

## 08 拆开装置

这套装置拆成七件：斜面、支架、弯头、铜球、释放夹、铅垂和量杆。

指针停在哪一件上，它就被单独托出来，标出名字；不动时，七件的名字都标在旁边。

*斜面 · 支架 · 弯头 · 铜球 · 释放夹 · 铅垂 · 量杆*

## 09 速度、角度和空气

这是本页的模型：球从发射器口出发，落在同样高的木板上。不计空气时按抛物线算；计空气时按迎面的阻力一步一步算，阻力与速度的平方成正比。虚线一直是不计空气的抛物线。

铜球直径 25 毫⁠米、72 克，阻力系数取球体的 0.45；乒乓球直径 40 毫⁠米、2.7 克，阻力系数取实测的 0.36。

*本页的模型 · 虚线：不计空气*

**试一试**：实验台上用铜球、每秒 3 米：45° 落在哪里？30° 和 60° 呢？换成乒乓球、打开空气，45° 的落点近了多少？哪个角度抛得最远？

## 模型省略了什么

伽利略没有写下装置的样子：斜面的长短和角度、弯头、桌子都是按 Drake 的复原做的模型，斜面的槽、羊皮纸和青铜球取自《两门新科学》第三天写的另一个斜面实验。模型里的球滚下斜面时，速度按它的落点反推，所以正好落在粉笔记号上；真实的球在槽里滚动，还有摩擦，离开桌边时比只滑不滚、没有摩擦的球慢。1 点的长度史家说法不一，Drake 本人取 29⁠/⁠30 毫⁠米，本页取常用的 0.94 毫⁠米。第二颗球的释放夹和同时落地的演示是本页的设计。落地后的弹跳只是示意。空气的阻力按阻力系数不变来算，不计旋转和风；棒球的数字也不计旋转。木板上的球从板面的高度出发，又落回板面，所以“45° 最远”成立；出手点高于落点时，抛得最远的角度小于 45°。频闪的间隔、慢放和球的弹跳都只是为了看清。

## 几个容易误会的地方

球离开桌边后，没有向前推它的力；向前的速度不会“用完”，只有空气会让它慢下来。抛出去的球不是先直飞、再掉下来，它从离开的那一刻起就在下落：这是伽利略以前的说法，塔尔塔利亚的书里画的路线就是一段直线、一段圆弧、再竖直落下。不计空气，重的球和轻的球落得一样快；在空气里，轻而大的球受阻力的影响大得多。“45° 最远”只在不计空气、出手和落地一样高时成立。抛物线也只是近地面、不计空气时的形状。

## 常见问题

### 平抛的球和同时落下的球，哪个先落地？

每隔 1⁠/⁠30 秒闪一次光：两颗球总在同一高度。

见：[02 同时落地](https://world.lapla.si/zh/projectile/#together)

### 抛出去的球为什么还在向前飞？

没有东西推着它向前，也没有东西让它向前的速度变慢：从桌边到地面，一直是每秒 3.16 米。

见：[03 没有向前推的力](https://world.lapla.si/zh/projectile/#sideways)

### 平抛的球在相等的时间里各落下多少？

每一段里，球向前走的距离一样；往下落的距离却是 1、3、5、7 份，累计是 1、4、9、16 份。

见：[04 一、四、九、十六](https://world.lapla.si/zh/projectile/#parabola)

### 什么角度抛得最远？

不计空气时，落点 R = v² sin 2θ / g，45° 抛得最远。

见：[06 45°](https://world.lapla.si/zh/projectile/#angle)

### 空气阻力怎样改变抛体的路线？

球向前的速度一路变小，下降的一段就比上升的一段短，也更陡：乒乓球以 45° 向上出手，以 48° 向下落地。

见：[07 有空气的时候](https://world.lapla.si/zh/projectile/#air)

## 资料来源

1. [G. Galilei（1638）：Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze（《两门新科学》），H. Crew 与 A. de Salvio 英译（1914），第三天和第四天](https://archive.org/details/dialoguesconcern00galiuoft)
2. [佛罗伦萨国家中央图书馆、科学史研究所与博物馆、马克斯⁠·⁠普朗克科学史研究所：伽利略运动手稿 Ms. Gal. 72 电子版，第 116 页背面（著录和验算）](https://www.imss.fi.it/ms72/HTML/F116_V/F116_V.HTM)
3. [同上，第 116 页背面的影印（马克斯⁠·⁠普朗克科学史研究所）](https://www.mpiwg-berlin.mpg.de/Galileo_Prototype/HTML/F116_V/F116_V.HTM)
4. [S. Drake（1973）：Galileo’s Experimental Confirmation of Horizontal Inertia: Unpublished Manuscripts，Isis 64](https://doi.org/10.1086/351124)
5. [S. Drake、J. MacLachlan（1975）：Galileo’s Discovery of the Parabolic Trajectory，Scientific American 232](https://doi.org/10.1038/scientificamerican0375-102)
6. [S. Drake（1985）：Galileo’s accuracy in measuring horizontal projections，Annali dell’Istituto e Museo di storia della scienza di Firenze 10（摘要）](https://opac.museogalileo.it/imss/resourceXsl?uri=205583)
7. [R. H. Naylor（1974）：Galileo and the Problem of Free Fall，British Journal for the History of Science 7（摘要）](https://www.cambridge.org/core/journals/british-journal-for-the-history-of-science/article/abs/galileo-and-the-problem-of-free-fall/EFEE65B06845C3AEAA847AAC7A635796)
8. [J. Renn、P. Damerow、S. Rieger（2001）：Hunting the White Elephant: When and How did Galileo Discover the Law of Fall?，Science in Context 14](https://doi.org/10.1017/S0269889701000321)
9. [F. S. Crawford（1996）：Rolling and slipping down Galileo’s inclined plane: Rhythms of the spheres，American Journal of Physics 64（摘要）](https://doi.org/10.1119/1.18151)
10. [R. Vergara Caffarelli：How long is Galileo’s punctus?（“点”有多长）](https://www.vergaracaffarelli.it/styled-14/files/2005-how-long-is-galileo0027s-punctus.pdf)
11. [M. Valleriani（2013）：Metallurgy, Ballistics and Epistemic Instruments: The Nova scientia of Nicolò Tartaglia，第 2 章](https://edition-open-sources.org/sources/6/3/index.html)
12. [OpenStax：University Physics 第 1 卷，4.3 抛体运动](https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/4-3-projectile-motion)
13. [OpenStax：University Physics 第 1 卷，6.4 阻力与终极速度（球的阻力系数 0.45）](https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/6-4-drag-force-and-terminal-speed)
14. [美国国家标准与技术研究院：标准重力加速度（定义值）](https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gn)
15. [Engineering ToolBox：美国标准大气（1976），海平面的空气密度](https://www.engineeringtoolbox.com/standard-atmosphere-d_604.html)
16. [NASA 格伦研究中心：球的阻力](https://www1.grc.nasa.gov/beginners-guide-to-aeronautics/drag-of-a-sphere/)
17. [C. Cohen 等（2014）：The aerodynamic wall，Proceedings of the Royal Society A 470（乒乓球的阻力系数）](https://doi.org/10.1098/rspa.2013.0497)
18. [国际乒联：章程 2026，2.3（球的直径和质量）](https://db.ittf.com/sites/default/files/public/2026-02/2026_Statutes_v1_consolidated_clean.pdf)
19. [A. M. Nathan（2008）：The effect of spin on the flight of a baseball，American Journal of Physics 76](https://doi.org/10.1119/1.2805242)
20. [J. R. Kensrud、L. V. Smith（2010）：In situ drag measurements of sports balls，Procedia Engineering 2（棒球的阻力系数）](https://doi.org/10.1016/j.proeng.2010.04.012)
21. [A. M. Nathan（2016）：Using Statcast Data To Study The Flight of a Baseball（飞得最远的出手角）](https://baseball.physics.illinois.edu/THT-Fly-Ball-Distances-Statcast.pdf)

## 数据

Folio 116v: Galileo Galilei’s notes on motion, Biblioteca Nazionale Centrale di Firenze, Ms. Gal. 72, f. 116v (the electronic edition of the Biblioteca Nazionale Centrale, the Istituto e Museo di Storia della Scienza and the Max Planck Institute for the History of Science, 1999), read as S. Drake did (Isis, 1973; with J. MacLachlan, Scientific American, 1975; Annali dell’Istituto e Museo di storia della scienza, 1985), with the doubts of R. H. Naylor (1974) and of J. Renn, P. Damerow and S. Rieger (2001). The punto after T. Settle’s measurement of Galileo’s compass, as given by R. Vergara Caffarelli. Two New Sciences (Leiden, 1638) in the English of H. Crew and A. de Salvio (1914); Tartaglia after M. Valleriani’s edition of the Nova scientia (2013). Standard gravity as defined by the CGPM (1901); air at sea level from the U.S. Standard Atmosphere (1976); a sphere’s drag coefficient from OpenStax University Physics; the table-⁠tennis ball’s from C. Cohen and colleagues (2014); the baseball’s size from A. M. Nathan (2008) and its drag from J. R. Kensrud and L. V. Smith (2010); the fly-⁠ball angles from A. M. Nathan (2016). Every path on the page is computed from these (computed.py and sim.js), not traced from photographs or from the folio. The table, the incline, the deflector, the catch and the launcher are this page’s model of a reconstruction, not copies of any instrument; the sheet on the table is our own drawing. Material presets and the model kit as on the site’s other model plates (public/looks/CREDITS.md).

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拉普拉斯的迷你世界，图版 79《抛体运动》，https://world.lapla.si/zh/projectile/，CC BY-NC 4.0，2026-11-02 更新。