# 布朗运动

拉普拉斯的迷你世界 · 图版 78 · 物质、光与声 · 物质

> 显微镜下，水里的微粒一刻不停地乱动。推它们的，是看不见的水分子；量出它们走多远，就能数出分子有多少。

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- 更新于：2026-11-02

## 01 花粉里出来的颗粒

1827 年夏天，植物学家罗伯特⁠·⁠布朗在显微镜下观察一种开花植物（Clarkia pulchella）的花粉。花粉粒里装满了颗粒，长约 5 到 6 微⁠米。他把它们放进水里，看见许多颗粒明显地在动：位置在变，有时还绕着长轴转一下。

他反复观察后确认，这既不是水在流，也不是水在蒸发，而是颗粒自己在动。

动的不是花粉粒。花粉粒大约 100 微⁠米，大得看不出这种动；布朗看的是从花粉粒里出来、悬在水里的小颗粒。今天知道，长形的是装淀粉的小体，圆的是装油脂的小体。

*花粉粒约 100 微⁠米 · 长形颗粒约 5⁠–⁠6 微⁠米 · 圆颗粒约 1 微⁠米*

## 02 不是活的

这种动看上去很像微小的生物在游。布朗于是去看压在植物标本里二十多年、有的不少于一百年的花粉，里面的小颗粒照样在动；干了一百多年的苔藓也一样。

他接着看不会活的东西。一小片窗玻璃在载物台上压碎，立刻得到大量同样大小、同样在动的颗粒。各个年代的岩石、花岗岩（其中一块取自狮身人面像）、熔岩、陨石、几种金属，还有伦敦到处落着的煤烟，都一样。

1829 年，他专门声明：自己从没说过这些颗粒是活的。它们为什么动，他说“无法解释”，也不肯猜。

*百年的花粉 · 窗玻璃 · 花岗岩 · 煤烟 · 金属：颗粒都在动*

## 03 四面八方的推挤

1888 年，法国物理学家古伊（Gouy）记下：颗粒越小，动得越活跃；温度越高越活跃；换一种液体也不一样。这与水流、震动和温差都无关，而是液体本身的性质。佩兰后来写道，把照明减弱到千分之一，颗粒照样在动；夜里乡下的地下室，和白天重车驶过的街边，也没有区别。

今天的解释是：颗粒四周的水分子一直在乱撞。一颗直径约 1 微⁠米的乳香颗粒，比一个水分子重约 200 亿⁠倍，一次碰撞推不动它。可是每一刻，四面八方的推挤都不会正好抵消，剩下的那一点点，方向和大小不停地变。我们看到的抖动，是极多次不均匀推挤的总和。

颗粒越小，液体对它的阻力越小，它走得越远；温度越高，分子动得越剧烈；液体越黏，颗粒越难走。

*越小、越热、液体越稀，动得越厉害*

## 04 乱走，也有规律

每一步的方向随机，走多远也随机，这叫随机行走。单看一颗颗粒，没法预言它下一刻去哪里；可是很多颗颗粒放在一起，就有规律。

让一群颗粒从同一点出发，它们散成一团。这一团越来越大，却越长越慢：离开起点的距离，它的平方平均起来与时间成正比。时间变成 4 倍，散开的距离只变成 2 倍。

一滴墨水在静水里慢慢化开，也是这样的扩散。穿过细胞膜的扩散，在“穿过细胞膜”那一页。

*红圈：64 颗颗粒实测的散开 · 虚线：按式子算的 · 本页的模型*

## 05 1905 年的预言

1905 年，爱因斯坦从分子运动论出发推出：悬在液体里的颗粒必定这样乱动。在时间 t 里，它沿一个方向的位移，平方的平均值是 ⟨x²⟩ = 2Dt。

D 叫扩散系数：D = RT/(N·6πηr)。T 是温度，η 是液体的黏度，r 是颗粒的半径，R 是气体常数，N 是阿伏伽德罗数，也就是一摩尔物质里的分子数。量出颗粒走多远，就能算出 N。

他举了一个例子：17 °C 的水里，直径 0.001 毫⁠米的颗粒，1 秒约走 0.8 微⁠米，1 分⁠钟约 6 微⁠米。按今天的常数和水的黏度重算，分别是 0.89 微⁠米和 6.9 微⁠米。他当时并不确定这就是人们说的“布朗分子运动”，因为手头的记载太不精确；论文最后写道，但愿很快有研究者能判定这个问题。

*⟨x²⟩ = 2Dt · 17 °C 的水，1 微⁠米的颗粒：1 分⁠钟约 6 微⁠米*

## 06 每 30 秒一个点

1908 年起，法国物理学家让⁠·⁠佩兰着手检验这个预言。他先要一批大小相同的颗粒：把藤黄和乳香这两种树脂做成悬在水里的小球，再用离心机一遍遍按大小分开。有一次，他处理了一公斤藤黄，每天操作，几个月后只得到几分克直径约 0.75 微⁠米的颗粒。

显微镜竖直放着，目镜上装着描绘器：眼睛同时看见视野和旁边的方格纸。他和同事 Dabrowski 轮流坐到显微镜前，一个人报时，另一个人每隔 30 秒把同一颗颗粒的位置点在纸上。

他发表了三幅描图，画的都是半径约 0.5 微⁠米的乳香颗粒，其中一幅连着 50 个位置。按 1913 年书中的比例，16 格是 50 微⁠米。

*每 30 秒一个点 · 16 格 = 50 微⁠米 · 乳香颗粒，半径约 0.52 微⁠米*

## 07 越看越曲折

描图上的每一段直线，只是连起了相隔 30 秒的两个位置。佩兰提醒，这只能让人对真实路线的曲折有一个“很淡的印象”：如果每秒点一次，每一段直线都会变成一条 30 段的折线，和整幅图一样复杂；再细分下去，还是这样。

所以这条路上任何一点都画不出切线，量出的“速度”也没有确定的值：点得越密，算出的平均速度越大。

按本页的模型，同一颗乳香颗粒，每 30 秒记一次，算出的平均速度约为每秒 0.21 微⁠米；每秒记一次，约 1.1 微⁠米；每秒记 30 次，约 6.2 微⁠米。

*红点：每 30 秒 · 灰线：每 1 秒 · 本页的模型*

## 08 一滴水里的大气

空气越往上越稀：分子的乱动把它们推向四处，重力把它们往下拉，两者平衡时，大约每升高 6 千⁠米，空气就稀一半。佩兰想到，悬在水里的颗粒也该这样分层，只是颗粒重得多，这个高度要短得多。

他在 100 微⁠米高的小槽里放进半径 0.212 微⁠米的藤黄颗粒，透过一个针孔，在离槽底 5、35、65、95 微⁠米的四个高度数颗粒，前后一共数了 13,⁠000 颗。四个高度上的数目之比是 100：47：22.6：12，差不多每升高 30 微⁠米就少一半。

由减半的高度和颗粒的大小、密度，可以算出阿伏伽德罗数，他得到 70.5 × 10²²。按今天的常数，这些颗粒应该每升高约 34 微⁠米少一半（本页计算）；他量出的高度短了一点，算出的数也就大了一点。

*5、35、65、95 微⁠米 · 100：47：22.6：12 · 每约 30 微⁠米少一半，空气约每 6 千⁠米*

## 09 数出分子

把爱因斯坦的式子倒过来用，量出位移就能算出 N。佩兰汇总约 3,⁠000 次位移，得到 71.5 × 10²²，和由分层得到的 70.5 × 10²² 很接近。

1913 年，他把十几种完全不同的方法放在一起：气体的黏度、布朗运动、天空的蓝色、黑体辐射、放射性等等，得到的值都在 60 × 10²² 到 75 × 10²² 之间。他写道，面对从如此不同的现象得出的如此精确的一致，人们不禁赞叹。

原子最有名的怀疑者之一、化学家奥斯特瓦尔德，在 1908 年 11 月写的一篇序言里承认：汤姆孙对气体离子的计数，和佩兰对布朗运动的证实，已经使最谨慎的科学家也可以说物质的原子性有了实验证明。1926 年，佩兰获诺贝尔物理学奖。今天，阿伏伽德罗常数定为 6.02214076 × 10²³，佩兰当年的数大了约 6% 到 19%。

*1909 年：70.5 和 71.5 × 10²² · 1926 年：粗略平均 64 × 10²² · 今天：60.22 × 10²²*

## 10 一瞬之间是直线

佩兰说路线上处处没有切线，在显微镜看得到的尺度上是对的。在极短的时间里，颗粒带着自己的惯性直线前进，方向还来不及被打乱。按一个简单的模型，半径 0.52 微⁠米的乳香颗粒在水里，不到 0.1 微⁠秒就“忘了”原来的方向，那段直线只有约 0.2 纳⁠米长。

这段时间里的真实速度，每秒约 2.5 毫⁠米（沿一个方向），比每 30 秒一点的描图上算出的“速度”快一万多倍。爱因斯坦曾断言，至少对这样小的颗粒，这个速度无法靠观察确定。2010 年，物理学家用光镊夹住空气中的玻璃小珠，第一次测到布朗粒子的瞬时速度；2014 年，在水里也测到了。

*不到 0.1 微⁠秒 · 约 0.2 纳⁠米 · 2010 年在空气里、2014 年在水里测到瞬时速度*

## 11 拆开显微镜

台上的显微镜拆成七件：描绘器、目镜、镜筒、物镜转换器、载玻片、聚光镜和反光镜。

指针停在哪一件上，它就被单独托出来，标出名字；不动时，七件的名字都标在旁边。

*描绘器 · 目镜 · 镜筒 · 物镜转换器 · 载玻片 · 聚光镜 · 反光镜*

## 12 颗粒、温度和液体

这是本页的模型：每颗颗粒按爱因斯坦的式子随机移动，D 由颗粒的半径、温度和液体的黏度算出；水的黏度按国际水和水蒸气性质协会的公式，甘油水（甘油按质量占 50% 或 80%）按 Cheng 2008 年的公式。时钟是真实时间。

每次重新开始，模型从这一刻起记下 30 颗颗粒的位移，算出位移平方的平均值，和 2Dt 比较。颗粒只有 30 颗，两者不会完全相等，记得越久越接近。

*本页的模型 · 真实时间 · 30 颗颗粒*

**试一试**：实验台上选水、20 °C、半径 0.52 微⁠米：30 秒内一颗颗粒沿一个方向约走多远？把半径减到一半，或者把温度升到 80 °C，扩散系数 D 各变成多少？换成 80% 的甘油水，又会怎样？

## 模型省略了什么

视野里的颗粒都是本页的模型，不是录像：每颗颗粒每一小步沿三个方向各走一个随机的距离，距离的分布按爱因斯坦的式子由它的大小、温度和液体算出；颗粒彼此不碰，也不受槽壁影响（贴近槽壁时实际会慢一些）。颗粒在焦点上下移动时变淡变模糊，是为了像显微镜里那样，不是光学计算。封面上红点每 5 秒一个；佩兰那一章快放 60 倍，每 30 秒一个点。分层那一章是从侧面看的示意，颗粒画得比实际大，数目也少得多。花粉那一章，长形颗粒按体积相同的圆球来算它走多远，只是近似。纸上的描图由同一个模型画出，不是照佩兰的图描的。台上的显微镜是照约 1905 年的黄铜显微镜和 Abbe 式描绘器做的模型，比例参考了博物馆的实物，不是佩兰用过的那一台。“不到 0.1 微⁠秒”和“约 2.5 毫⁠米每秒”用的是最简单的模型，没有算被颗粒带动的那部分水；在水里，这部分水的影响不小。

## 几个容易误会的地方

布朗没有看到花粉粒本身在动：一粒花粉约 100 微⁠米，太大了；动的是从里面出来的小颗粒。布朗也没有发现原子，没有解释这种运动。看到的抖动不是一个分子撞了一下，而是极多次推挤不能完全抵消的结果，单个水分子小得根本看不见。它不是水流，不是对流，也不是生物在游；阳光里飞舞的灰尘主要是被气流带着走，佩兰特意说明不能拿来比。描图上的折线不是颗粒真正走过的路，而是每 30 秒的位置连成的直线。佩兰算出的阿伏伽德罗数比今天的值大了约 6% 到 19%，不是一开始就准到两位数字。

## 常见问题

### 布朗看到的是花粉粒在动吗？

花粉粒大约 100 微⁠米，大得看不出这种动；布朗看的是从花粉粒里出来、悬在水里的小颗粒。

见：[01 花粉里出来的颗粒](https://world.lapla.si/zh/brownian/#pollen)

### 布朗运动是什么推动的？

今天的解释是：颗粒四周的水分子一直在乱撞。

见：[03 四面八方的推挤](https://world.lapla.si/zh/brownian/#kicks)

### 随机行走的颗粒散开得有多快？

这一团越来越大，却越长越慢：离开起点的距离，它的平方平均起来与时间成正比。

见：[04 乱走，也有规律](https://world.lapla.si/zh/brownian/#walk)

### 爱因斯坦 1905 年预言了什么？

1905 年，爱因斯坦从分子运动论出发推出：悬在液体里的颗粒必定这样乱动。

见：[05 1905 年的预言](https://world.lapla.si/zh/brownian/#einstein)

### 佩兰怎样数出分子？

把爱因斯坦的式子倒过来用，量出位移就能算出 N。

见：[09 数出分子](https://world.lapla.si/zh/brownian/#count)

## 资料来源

1. [R. Brown（1828）：A brief Account of Microscopical Observations … on the Particles contained in the Pollen of Plants，Philosophical Magazine 4（花粉粒里的颗粒、大小、排除水流和蒸发、旧标本、玻璃、岩石和狮身人面像的碎片）](https://doi.org/10.1080/14786442808674769)
2. [同文 1866 年重印本，The Miscellaneous Botanical Works of Robert Brown，第 1 卷](https://archive.org/details/miscellaneousbot01brow)
3. [R. Brown（1829）：Additional Remarks on Active Molecules，Philosophical Magazine 6（从未说过它们是活的）](https://doi.org/10.1080/14786442908675115)
4. [P. Pearle 等（2010）：What Brown saw and you can too，American Journal of Physics 78（花粉粒约 100 微⁠米、颗粒是淀粉体和油体、布朗没有看到花粉粒在动）](https://arxiv.org/abs/1008.0039)
5. [A. Einstein（1905）：Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen，Annalen der Physik 17](https://doi.org/10.1002/andp.19053220806)
6. [同文英译：Investigations on the Theory of the Brownian Movement（A. D. Cowper 译，1926）](https://archive.org/details/investigationson0000albe_e1q8)
7. [A. Einstein（1906）：Zur Theorie der Brownschen Bewegung，Annalen der Physik 19（Siedentopf 和古伊）](https://doi.org/10.1002/andp.19063240208)
8. [L.-G. Gouy（1888）：Note sur le mouvement brownien，Journal de Physique 7](https://hal.science/jpa-00238904)
9. [J. Perrin（1909）：Mouvement brownien et réalité moléculaire，Annales de chimie et de physique 18（描绘器和方格纸、每 30 秒、颗粒分层、阿伏伽德罗数）](https://fr.wikisource.org/wiki/Mouvement_brownien_et_r%C3%A9alit%C3%A9_mol%C3%A9culaire)
10. [同文英译：Brownian Movement and Molecular Reality（F. Soddy 译，1910）](https://archive.org/details/brownianmovement00perr)
11. [J. Perrin（1913）：Les Atomes，第四章（描图的比例：16 格 = 50 微⁠米）](https://fr.wikisource.org/wiki/Les_Atomes/IV)
12. [J. Perrin（1913）：Les Atomes，结论（十几种方法的一致）](https://fr.wikisource.org/wiki/Les_Atomes/Conclusions)
13. [J. Perrin（1926）：诺贝尔演讲，Discontinuous Structure of Matter](https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1926/perrin/lecture/)
14. [诺贝尔奖官网：1926 年物理学奖](https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1926/perrin/facts/)
15. [W. Ostwald：Outlines of General Chemistry（德文第 4 版的英译，1912），1908 年 11 月的序言](https://archive.org/details/outlinesgeneral00taylgoog)
16. [美国国家标准与技术研究院：阿伏伽德罗常数（CODATA 2022，准确值）](https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?na)
17. [美国国家标准与技术研究院：玻尔兹曼常数（CODATA 2022，准确值）](https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?k)
18. [美国国家标准与技术研究院：2019 年国际单位制的重新定义](https://www.nist.gov/si-redefinition)
19. [国际水和水蒸气性质协会（IAPWS）：普通水的黏度（2008）](https://www.iapws.org/relguide/visc.pdf)
20. [M. L. Huber 等（2009）：New International Formulation for the Viscosity of H₂O，J. Phys. Chem. Ref. Data 38（式 37）](https://doi.org/10.1063/1.3088050)
21. [N.-S. Cheng（2008）：Formula for the Viscosity of a Glycerol−Water Mixture，Ind. Eng. Chem. Res. 47](https://doi.org/10.1021/ie071349z)
22. [J. B. Segur、H. E. Oberstar（1951）：Viscosity of Glycerol and Its Aqueous Solutions，Ind. Eng. Chem. 43](https://doi.org/10.1021/ie50501a040)
23. [T. Li、S. Kheifets、D. Medellin、M. G. Raizen（2010）：Measurement of the Instantaneous Velocity of a Brownian Particle，Science 328](https://doi.org/10.1126/science.1189403)
24. [S. Kheifets 等（2014）：Observation of Brownian Motion in Liquids at Short Times，Science 343](https://doi.org/10.1126/science.1248091)
25. [R. Huang 等（2011）：Direct observation of the full transition from ballistic to diffusive Brownian motion in a liquid，Nature Physics 7](https://doi.org/10.1038/nphys1953)
26. [T. Li、M. G. Raizen（2013）：Brownian motion at short time scales，Annalen der Physik 525（爱因斯坦认为瞬时速度无法观测）](https://arxiv.org/abs/1211.1458)
27. [史密森学会：约 1910 年的 Zeiss 显微镜（尺寸和部件，模型比例的参考）](https://www.si.edu/object/nmah_1349170)
28. [科学博物馆集团（伦敦）：Abbe 式描绘器，1910⁠–⁠1930 年](https://collection.sciencemuseumgroup.org.uk/objects/co120062/abbe-type-camera-lucida)

## 数据

History after R. Brown (Philosophical Magazine, 1828 and 1829), A. Einstein (Annalen der Physik 17, 1905, and 19, 1906; English by A. D. Cowper, 1926), L.-G. Gouy (Journal de Physique, 1888), J. Perrin (Annales de chimie et de physique, 1909; English by F. Soddy, 1910; Les Atomes, 1913; Nobel lecture, 1926) and W. Ostwald’s preface of November 1908 (English, 1912); what Brown saw after P. Pearle and colleagues (American Journal of Physics, 2010). The constants k and N\_A are the exact SI values (CODATA 2022); water’s viscosity from the formula of M. L. Huber and colleagues (J. Phys. Chem. Ref. Data, 2009) for the IAPWS 2008 formulation; glycerol–water mixtures from N.-S. Cheng (Ind. Eng. Chem. Res., 2008). The short-⁠time measurements after T. Li and colleagues (Science, 2010) and S. Kheifets and colleagues (Science, 2014). Every grain in the eyepiece is this page’s model: each moves by random steps whose spread follows Einstein’s formula for its size, the temperature and the liquid; the tracings on the paper are drawn from the same model, not copied from Perrin’s figures. The microscope on the board is this page’s model of a brass stand of about 1905 with an Abbe-⁠pattern drawing apparatus, in proportions from museum examples (Smithsonian, Science Museum Group), not a copy of any instrument Perrin used. Material presets and the model kit as on the site’s other model plates (public/looks/CREDITS.md).

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拉普拉斯的迷你世界，图版 78《布朗运动》，https://world.lapla.si/zh/brownian/，CC BY-NC 4.0，2026-11-02 更新。