# 贝尔检验

拉普拉斯的迷你世界 · 图版 F24 · 芯片与信息 · 量子

> 一对纠缠的光子分头飞向两台分析器，两边各自随机选角度。数出来的关联超过了任何“事先带好答案”的理论所能给的上限。2022 年的诺贝尔物理学奖，授予了做这件事的三个人。

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- 更新于：2026-10-20

## 01 超过 2

贝尔检验把实验结果算成一个数 S。如果世界是“局域实在”的，也就是每个粒子事先带着自己的答案，远处做什么也影响不到这里，S 的绝对值就不会超过 2。量子力学预言它最高可到 2√2，约 2.83。

1982 年，Alain Aspect 的组在法国奥赛测得 S = 2.697 ± 0.015，量子力学对这台装置的预言是 2.70 ± 0.05。1998 年，因斯布鲁克的两个观测站相距 400 米，测得 S = 2.73 ± 0.02，超出 2 达 30 个标准差。

*局域模型 |S| ≤ 2 · 量子力学 2√2 ≈ 2.83 · 1982 年 2.697 ± 0.015*

## 02 1.3 公里

2015 年，荷兰代尔夫特的实验把两个电子自旋放在相距 1.3 公里的两处，各囚在金刚石的一个缺陷（NV 色心）里。光从一处到另一处要 4.27 微秒；随机选测量方向、读出结果，都在这之前做完，以光速传的信号也来不及影响另一边。

每次试验都读得出结果，没有挑选。245 次试验测得 S = 2.42 ± 0.20；局域模型给出这么大违反的概率不超过 3.9%。这是第一次同时堵住“局域”和“探测”两个漏洞。同年，维也纳和美国 NIST 用光子和高效探测器也做到了，统计上强得多。

*1,280 米 · 光走 4.27 微秒 · 245 次 · S = 2.42 ± 0.20（代尔夫特，2015）*

## 03 成对的光子

一对纠缠的光子从同一块晶体里出来，各奔一个分析站。分析器可以转到任意角度；光子要么从“+”口出来，要么从“−”口出来。

只看一边，结果完全随机，一半一半，另一边怎么转都一样。两边的记录放在一起比，才看出关系：两台分析器角度相同，结果总是相同；相差 θ，结果相同的比例是 cos²θ；相差 90 度，总是相反。

*相同的比例 = cos²(a − b) · 只看一边：各 50%*

## 04 CHSH 不等式

1964 年，John Bell 证明，任何局域的隐变量理论都给这种关联设了上限。1969 年，Clauser、Horne、Shimony 和 Holt 把它写成实验能测的形式：每边有两个角度，a 和 a′、b 和 b′，测出四种组合的关联 E，算 S = E(a,b) − E(a,b′) + E(a′,b) + E(a′,b′)。

如果每对光子事先就带着对每个角度的答案（+1 或 −1），无论答案怎么配，每一对算出来都只能是 +2 或 −2，平均起来绝对值不超过 2。量子力学在 0°、45° 和 22.5°、67.5° 这组角度上给出 2√2。1980 年，Boris Tsirelson 证明量子力学到不了比这更大的值。

*S = E(a,b) − E(a,b′) + E(a′,b) + E(a′,b′) · a 0°，a′ 45°，b 22.5°，b′ 67.5°*

## 05 最好的局域模型

能不能用事先带好的答案模仿量子力学？一个简单的模型：每对光子出发时共带一个随机的“隐藏偏振方向”，每台分析器只看它和自己的角度，哪个口离它近，光子就从哪个口出来。

这个模型只看一边也是一半一半；角度相同或相差 90 度时，也和量子力学一样。中间就不同了：它的关联随角度直线下降，量子力学是余弦。在 CHSH 那组角度上，它正好得到 2，局域模型最多也就到这里；量子力学是 2.83。

*局域：E = 1 − 4θ/180° · 量子：E = cos 2θ · 两个都是本页一对对抽样数出来的*

## 06 剖开：光学平台

平台后部是 405 纳米的紫光激光器，一面反射镜、一片透镜把光聚到 BBO 晶体上。晶体后面是两块补偿晶体，两面小镜子从紫光两侧拾出成对的光子，送进光纤；剩下的紫光打进吸收器。

光纤绕在两个线盘上，通到左右两个分析站。每站依次是准直器、普克尔盒、电动旋转台里的半波片、偏振分束立方体，和“+”“−”两个单光子探测器。四路电缆接到前面的符合计数器。剖开的是两站的光路。

*左为 A 站，右为 B 站 · 两站在一块平台上是示意：实验里相距几米到一千多米*

## 07 一分为二

有些晶体对光的响应不是线性的。在 BBO（偏硼酸钡）晶体里，偶尔有一个 405 纳米的紫光光子分成两个 810 纳米的红外光子，能量和动量都守恒，这叫自发参量下转换。绝大多数紫光光子直接穿过去。

在第二类下转换里，两个光子沿两个圆锥射出：一个锥上的光偏振水平，另一个竖直。两个锥在左右两处相交，从交点出来的一对，说不清哪个水平、哪个竖直，只知道两个相反，这就是纠缠。1995 年，因斯布鲁克的 Kwiat、Zeilinger 等人用这种光源，每秒得到一千五百多对。

*405 纳米 → 810 + 810 纳米 · 实际两个交点相隔约 6°，图中画大了*

## 08 随机选角度

半波片转过 θ，光的偏振就转过 2θ；后面的偏振分束立方体让一个方向的偏振透过，把与它垂直的反射出去。所以分析器的角度是半波片角度的两倍。

要排除两边事先串通，角度必须在光子飞行途中才定，而且定得随机。1982 年 Aspect 的组用声光开关，约每 10 纳秒在两个方向间切换；两个开关相距 12 米，光走 40 纳秒。不过切换是准周期的，不是真随机。1998 年的因斯布鲁克实验改用物理随机数发生器和电光调制器。

*半波片 θ → 偏振 2θ · 1982 年：约 10 纳秒切换，相距 12 米 · 1998 年：400 米，随机数*

## 09 数出符合

每个出口后面是一个单光子探测器：进来一个光子，出去一个电脉冲。符合计数器给每个脉冲记下时刻，两边相差不过几纳秒的算作同一对，按 ++、+−、−+、−− 分别计数。关联 E = (N++ + N−− − N+− − N−+) / N。

探测器漏掉的光子是个漏洞：只记下一部分时，局域模型可以“挑着”被记下。最大纠缠态要求总效率超过 82.8%；Eberhard 1993 年证明，用纠缠弱一些的态，门槛可以降低，极限是三分之二。2001 年，囚禁离子的实验第一次堵上这个漏洞。2015 年，维也纳的超导转变边沿探测器总效率约 78.6% 和 76.2%，NIST 的超导纳米线约 75%。

*E = (N₊₊ + N₋₋ − N₊₋ − N₋₊) / N · 效率门槛 82.8%，极限 2⁄3*

## 10 五十年

1972 年，Stuart Freedman 和 John Clauser 用钙原子发出的光子对做了第一个这样的检验，记了约 200 小时，结果违反局域实在的不等式，与量子力学相符。1982 年，Aspect 的实验测得更准，并第一次在光子飞行途中切换角度。

Anton Zeilinger 的组用纠缠做出了新东西：1997 年的量子隐形传态，把一个光子的偏振态传到另一个光子上；1998 年的纠缠交换，让两个从未相遇的光子纠缠起来。2022 年诺贝尔物理学奖由 Aspect、Clauser 和 Zeilinger 平分，表彰他们“用纠缠光子做的实验，确立了贝尔不等式的违反，开创了量子信息科学”。量子比特怎么造，见图版“超导量子比特与纠错”。

*1964 贝尔 · 1972 · 1982 · 1997–98 · 2015 · 2022 诺贝尔奖*

## 11 拆开来看

泵浦激光器、光学元件、BBO 晶体、耦合器、光纤盘、两站的普克尔盒、半波片、分束立方体、探测器、随机数发生器和符合计数器，一件件分开。

指针停在哪件上，它就被单独托出来，其余的变淡；不动时，各件都标出名字。

## 12 两个角度

两个拉杆是 A、B 两站的角度 a 和 b，每站的第二个角度比第一个大 45 度。每对光子到来时，两边各掷一次硬币，决定这一对用哪个角度。上一行是量子力学的抽样，下一行是最好的局域模型，在同样的角度上一对对抽样。

b 比 a 大 22.5 度时，量子力学的 S 最大，为 2√2；局域模型此时正好是 2。误差棒随数到的对数变短：一万对时约为 ±0.03。

**试一试**：让 B 站的角度从和 A 站相同，慢慢转到比 A 大 45 度：量子力学的 S 在哪里最大？那时最好的局域模型给出多少？

## 模型省略了什么

平台按光子贝尔实验公开的共同布局做：泵浦激光、非线性晶体、光纤、两站的快速开关、偏振分析器、单光子探测器和符合计数器；尺寸是常见规格，布置是示意，不是哪个实验室的图纸。实验里两站相距几米到上千米，这里放在一块平台上，光纤盘代表其间的距离。光锥和两路光子分开的角度画大了约三倍。光子画成看得见的亮点，走得比真实慢了约十亿倍；810 纳米的光人眼看不见。探测器画成常见的单光子雪崩二极管模块；2015 年的无漏洞实验用的是装在低温恒温器里的超导探测器，光源晶体也是周期极化的 KTP，不是 BBO。实验台的抽样是理想的：没有噪声，探测效率 100%，不计时间窗口里的偶然符合。

## 几个常见的误解

违反贝尔不等式，说明这两条不能同时成立：结果在测量前就已确定（实在），以及远处的选择影响不到这里（局域）。它不能用来超光速传消息：只看一边，结果永远一半一半，看不出另一边转了什么角度；关联要把两边的记录放在一起才看得见，而传记录要靠普通的信号。“漏洞”是指实验没有排除的局域解释，不是理论的错。2015 年之后剩下的，是“选择自由”这个假设：选角度的随机数和光子无关。2017 年的一次实验用约 600 年前发出的银河系星光来选角度，2018 年的“BIG Bell Test”用了约十万名志愿者按下的按键。这里的“叠加”是量子态的叠加；神经网络里同名的现象，见图版“比神经元更多的特征”。

## 常见问题

### 贝尔检验里的 S 最大能到多少？

如果世界是“局域实在”的，也就是每个粒子事先带着自己的答案，远处做什么也影响不到这里，S 的绝对值就不会超过 2。量子力学预言它最高可到 2√2，约 2.83。

见：[01 超过 2](https://world.lapla.si/zh/bell/#precision)

### 第一个没有漏洞的贝尔实验是怎么做的？

2015 年，荷兰代尔夫特的实验把两个电子自旋放在相距 1.3 公里的两处，各囚在金刚石的一个缺陷（NV 色心）里。

见：[02 1.3 公里](https://world.lapla.si/zh/bell/#loophole)

### 纠缠光子是怎么产生的？

在 BBO（偏硼酸钡）晶体里，偶尔有一个 405 纳米的紫光光子分成两个 810 纳米的红外光子，能量和动量都守恒，这叫自发参量下转换。

见：[07 一分为二](https://world.lapla.si/zh/bell/#source)

### 2022 年诺贝尔物理学奖给了谁？

2022 年诺贝尔物理学奖由 Aspect、Clauser 和 Zeilinger 平分，表彰他们“用纠缠光子做的实验，确立了贝尔不等式的违反，开创了量子信息科学”。

见：[10 五十年](https://world.lapla.si/zh/bell/#nobel)

## 资料来源

1. [诺贝尔奖：2022 年物理学奖新闻稿（Alain Aspect、John F. Clauser、Anton Zeilinger，平分）](https://www.nobelprize.org/prizes/physics/2022/press-release/)
2. [诺贝尔物理学委员会：2022 年物理学奖科学背景](https://www.nobelprize.org/prizes/physics/2022/advanced-information/)
3. [J. S. Bell (1964)：On the Einstein Podolsky Rosen paradox，Physics 1, 195](https://doi.org/10.1103/PhysicsPhysiqueFizika.1.195)
4. [J. F. Clauser, M. A. Horne, A. Shimony, R. A. Holt (1969)：PRL 23, 880（CHSH 不等式）](https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.23.880)
5. [S. J. Freedman, J. F. Clauser (1972)：PRL 28, 938（钙原子级联，δ = 0.050 ± 0.008，约 200 小时）](https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.28.938)
6. [B. S. Cirel’son (1980)：Quantum generalizations of Bell’s inequality，Lett. Math. Phys. 4, 93（2√2）](https://doi.org/10.1007/BF00417500)
7. [A. Aspect, P. Grangier, G. Roger (1982)：PRL 49, 91（S = 2.697 ± 0.015；量子力学预言 2.70 ± 0.05）](https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.49.91)
8. [A. Aspect, J. Dalibard, G. Roger (1982)：PRL 49, 1804（声光开关约 50 兆赫，约每 10 纳秒切换；相距 12 米，40 纳秒；准周期）](https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.49.1804)
9. [P. H. Eberhard (1993)：Phys. Rev. A 47, R747（效率门槛）](https://doi.org/10.1103/PhysRevA.47.R747)
10. [P. G. Kwiat 等 (1995)：PRL 75, 4337（第二类 BBO 光源，两个锥相交，每秒 1500 多对）](https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.75.4337)
11. [D. Bouwmeester 等 (1997)：Experimental quantum teleportation，Nature 390, 575](https://doi.org/10.1038/37539)
12. [J.-W. Pan, D. Bouwmeester, H. Weinfurter, A. Zeilinger (1998)：Experimental entanglement swapping，PRL 80, 3891](https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.80.3891)
13. [G. Weihs 等 (1998)：PRL 81, 5039（相距 400 米，随机数发生器与电光调制器，S = 2.73 ± 0.02，30 个标准差）](https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.81.5039)
14. [M. A. Rowe 等 (2001)：Nature 409, 791（囚禁离子，2.25 ± 0.03，堵上探测漏洞）](https://doi.org/10.1038/35057215)
15. [B. Hensen 等 (2015)：Nature 526, 682（代尔夫特，1.3 公里，245 次，S = 2.42 ± 0.20，P ≤ 0.039）](https://doi.org/10.1038/nature15759)
16. [M. Giustina 等 (2015)：PRL 115, 250401（维也纳，转变边沿探测器，78.6% / 76.2%，3.74 × 10⁻³¹）](https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.115.250401)
17. [L. K. Shalm 等 (2015)：PRL 115, 250402（NIST，超导纳米线探测器，74.7% / 75.6%）](https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.115.250402)
18. [J. Handsteiner 等 (2017)：Cosmic Bell test，PRL 118, 060401（银河系星光，约 600 年）](https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.118.060401)
19. [The BIG Bell Test Collaboration (2018)：Nature 557, 212（约十万名参与者）](https://doi.org/10.1038/s41586-018-0085-3)
20. [A. Aspect：Bell’s theorem: the naive view of an experimentalist，arXiv:quant-ph/0402001（不能用来超光速通信）](https://arxiv.org/abs/quant-ph/0402001)
21. [N. Brunner 等 (2014)：Bell nonlocality，Rev. Mod. Phys. 86, 419（82.8% 与 2⁄3）](https://doi.org/10.1103/RevModPhys.86.419)

## 数据

The optical table follows the layout that photon Bell tests share in their published descriptions (a pump laser, a nonlinear crystal, fibre to two stations with fast setting switches, polarising analysers, single-photon detectors and a coincidence counter); it is not drawn from any one laboratory’s plans. The counts, correlations and S values in the figures and the laboratory are computed by this page; they are not measured data. Material presets, parts and the softbox studio of the site’s model kit are ported from AirsupHQ/machine-skill (MIT, © 2026 Air Supply Technologies Inc.).

## 许可 CC BY-NC 4.0

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## 引用这幅图版

拉普拉斯的迷你世界，图版 F24《贝尔检验》，https://world.lapla.si/zh/bell/，CC BY-NC 4.0，2026-10-20 更新。